Từ bất đẳng thức schwarz cùng với bất đẳng thức AM - GM, suy ra
(a2+ab)2a+b+(b2+bc)2b+c+(c2+ca)2c+a≥(a2+b2+c2+ab+bc+ca)22(a+b+c)
≥[2(a+b+c)23]22(a+b+c).
≥2(a+b+c)39.
Suy ra
a2(a+b)+b2(b+c)+c2(c+a)≥2(a+b+c)39 (1).
Từ giả thiết của đề bài, suy ra
2+2(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)≤8(a+b+c)327,
hay
8(a+b+c)3−54(a+b+c)−54≥0,
suy ra a+b+c≥3.
Từ kết quả trên, suy ra 2(a+b+c)23≥2(ab+bc+ca) và a+b+c3≥1. Suy ra
2(a+b+c)39≥2(ab+bc+ca) (2).
Kết hợp (1) và (2) thì được
a2(a+b)+b2(b+c)+c2(c+a)≥2(ab+bc+ca).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.