cường độ điện trường

Question

Vòng dây dẫn mảnh bán kính $R$ mang điện tích $q>0$ đặt trong không khí.
$a)$ Tính cường độ điện trường tại tâm $O$ của vòng dây
$b)$ Tính cường độ điện trường tại $M$ trên trục vòng dây cách $O$ đoạn $h$.Định $h$ để $E$ đặt cực đại và tính giá trị góc cực đại này

phuongna · Answer 1 · 7/30/2012 4:03:54 PM

Ta chia vòng dây ra nhiều đoạn nhỏ, mỗi đoạn coi như một điện tích điểm có điện tích là $\Delta q$

$a)$ Tại tâm vòng dây
Hai điện tích điểm $\Delta q$ nằm ở vị trí thường xuyển tâm đối trên vòng dây sẽ gây nên ở $O$ hai điện trường ngược chiều cùng độ lớn (do điện tích $\Delta q$ và khoảng cách $R$ bằng nhau ).Hai điện trường này sẽ triệt tiêu nhau.
Do đó cường độ điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây nên ở tâm vòng sẽ bằng không.
$\overrightarrow {E_o}= \sum \overrightarrow {\Delta E_i}=0 $
$b)$ Tại $M$ trên trục vòng dây
- Xét hai điện tích $\Delta q$ nằm ở vị trí xuyên tâm đối trên vòng dây.Cường độ điện trường tổng hợp do chúng gây nên tại $M$ là :

$\overrightarrow {\Delta E}=\overrightarrow {\Delta E_1}+\overrightarrow {\Delta E_2} $
vì $\Delta E_1=\Delta E_2=k\frac{\Delta q}{r^2} $ nên :
* $\overrightarrow {\Delta E} $ nằm trên $OM$ hướng ra xa $O$
* $\Delta E=2\Delta E_1.\cos\alpha =2.k\frac{\Delta q}{r^2} .\frac{h}{r} =k.\frac{2\Delta q.h}{r^3} $
- Cường độ điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây nên ở $M$ :
$\overrightarrow {E_M}=\sum \overrightarrow {\overrightarrow {\Delta E} } $
$\overrightarrow {E_M} $ nằm trên $OM$ hướng ra xa $O$
Độ lớn $E_M=\sum \Delta E=\sum (k.\frac{2\Delta q.h}{r^3} )=k.\frac{h}{r^3} (\sum 2\Delta q)$
$E_M=k.\frac{q.h}{r^3} =k.\frac{q.h}{(R^2+h^2)^{\frac{3}{2} }} $
- Ta tìm $h$ để $E_M$ đạt cực đại
Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi
$(R^2+h^2)^3=(\frac{R^2}{2}+\frac{R^2}{2}+h^2 )^3\geq 27.\frac{R^2}{2} .\frac{R^2}{2}.h^2 $
Suy ra $E_M\leq \frac{k.h.q}{3\sqrt{3}.\frac{R^2}{2} .h } =\frac{2kq}{3\sqrt{3}.R^2 } $
Vậy $h=\frac{R}{\sqrt{2} } $ thì $E_M=(E_M)_{max}=\frac{2kq}{3\sqrt{3}R^2 } $