Bài 101482

Question

Giải các phương trình sau đây :
$\begin{array}{l}
1)\,\,{3^x} + {4^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,\,{3^x} + {4^x} + {5^x}\, = {10^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\
2)\,{2^x} + {3^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5)\,\,\,\log \left( {x - 4} \right) = 5 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\
3)\,{5^x} + {12^x} = {13^x}\,\,\,\,(3)
\end{array}$

hungftuhn · Answer 1 · 7/9/2012 12:48:19 AM

$1)\, \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1\,\,\,\,\,\,\,(*)$ Đặt $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}$
      Ta có $f(2) = 1\,\,$nên $x = 2$ là một nghiệm của $(1)$
Với $x > 2 \Rightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\\
{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} < {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}
\end{array} \right.\Rightarrow VT(*)<VP(*)\Rightarrow (1)$ vô nghiệm
Với $x < 2\,\,\, \Rightarrow \,\,\,f(x) > 1\,\,\, \Rightarrow (1)$ vô nghiệm

Vậy $(1)$ có $1$ nghiệm duy nhất là $x = 2$
$2)$
Chia cả 2 vế của phương trình cho $5^x$, ta được: $(\frac{2}{5})^x+ (\frac{3}{5})^x =1$
Giải tương tự phần $1)$ ta suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = 1$
$3)$
Chia cả 2 vế của phương trình cho $13^x$, ta được: $(\frac{5}{13})^x+ (\frac{12}{13})^x =1$
Giải tương tự phần $1)$ ta suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = 2$

$4)$ Chia các vế cho ${10^x}$ta có ${\left( {\frac{2}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{{10}}} \right)^x} = 1$
Đặt $f(x) = {\left( {\frac{2}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{{10}}} \right)^x}$
Ta có $f(1) = 1$$ \Rightarrow x = 1$ là $1$ nghiệm
Nếu $x > 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,f(x) < f(1) = 1\,\,\,\, \Rightarrow $$(4)$ vô nghiệm
Nếu $x < 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,f(x) > f(1) = 1\,\,\,\, \Rightarrow $$(4)$ vô nghiệm
Vậy $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $(4)$
$5)$ Với $x = 5:$ phương trình $5)$ thỏa mãn: $\lg 1 = 5 - 5 = 0$
      Với $x > 5:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\lg \left( {x - 4} \right) > \lg \left( {5 - 4} \right) = 0\\
5 - x < 0
\end{array} \right.$
                 Suy ra $(5)$ vô nghiệm.
      Với $x<5 : \begin{cases}lg(x-4)>lg(5-4)=0 \\ 5-x<0 \end{cases}\Rightarrow (5)$ vô nghiệm
Vậy $(5)$ có một nghiệm duy nhất $x=5$

Bài 101482

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101482

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan