Từ giả thiết suy ra sinA+sinB+sinC=cosA+cosB+cosC√3(1)
Vì trong mọi tam giác ABC thì cosA+cosB+cosC≤32,nên từ (1) suy ra
sinA+sinB+sinC≤√32(2)
Giả thiết phản chứng max(A,B,C)≤2π3 (3)
Không mất tính tổng quát giả sử max(A,B,C)=A, khi đó kết hợp với (3) ta có :
π3≤A≤2π3⇒sinA≥√32(4)
Ví sinB>0,sinC>0, nên cùng với (4) ta đi đến bất đẳng thức :
sinA+sinB+sinC>√32(5)
Từ (5) và (2) suy ra giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
Nhận xét :
Bài toán thật sự có nghĩa nếu ta chứng minh lớp tam giác
ABC thỏa mãn điều kiện :
sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC=1√3 là khác rỗng.
Xin dành phần chứng minh lí thú này cho bạn đọc.