Từ giả thiết suy ra $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{{\sqrt 3 }} (1)$
Vì trong mọi tam giác $ABC$ thì $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$,nên từ $(1)$ suy ra
$\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} (2)$
Giả thiết phản chứng $max(A,B,C) \leq \frac{{2\pi }}{3}$ (3)
Không mất tính tổng quát giả sử $max(A,B,C)=A$, khi đó kết hợp với $(3)$ ta có :
$\frac{\pi }{3} \le A \le \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \sin A \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} (4)$
Ví $sinB>0,sinC>0$, nên cùng với $(4)$ ta đi đến bất đẳng thức :
$\sin A + \sin B + \sin C > \frac{{\sqrt 3 }}{2} (5)$
Từ $(5)$ và $(2)$ suy ra giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
Nhận xét :
Bài toán thật sự có nghĩa nếu ta chứng minh lớp tam giác
$ABC$ thỏa mãn điều kiện :
$\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ là khác rỗng.
Xin dành phần chứng minh lí thú này cho bạn đọc.