|
|
Xét cách làm sau đây:
Ta có : x+1x=x2+1x
Vì (x+1x) nguyên nên x2+1⋮x
Mà x2⋮x⇒1⋮x
Do đó : x=1∨x=−1
Với x=1⇒xn+1xn=2 nguyên
Với x=−1, ta có : xn+1xn=−2
Vậy : nếu (x+1x) nguyên thì xn+1xn nguyên
Thật là một điều sai lầm rất lớn vì đề bài không cho x nguyên. Do đó không thể sử dụng phép chia hết đê giải quyết bài toán đã cho được :
Ta dung phương pháp quy nạp thứ 2.
Đặt : Sn=xn+1xn
Nếu n<0⇔n=−m,m>0 , ta có :
Sn=x−m+1x−m=1xm+xmm>0
Do đó ta chỉ cần Chứng minh Sn∈Z,∀n∈N
Khi n = 0 , ta có : S0=2 ,nguyên .
Khi n = 1 , ta có : S1=x+1x , nguyên ( giả thiết )
Giả sử Sk−1 và Sk nguyên
Ta Chứng minh Sk+1 nguyên
Ta có : Sk.S1=Sk+1+Sk−1
Vì S1,Sk+1,Sk nguyên nên Sk+1 nguyên ,từ đó giả thiết quy nạp là đúng, suy ra đpcm
|