1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n, ta thực hiện hai bước sau:
· Bước 1: (bước có sở, hay bước khởi đầu). Chứng minh A(n)là một mệnh đề đúng khi n=1.
· Bước 2: ( bước quy nạp với giả thiết quy nạp). Với k là một số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n=k, chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n=k+1.
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
13+23+...+n3=n2(n+1)24 (3)
Giải: ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n=1, ta có
13=1=12(1+1)24
Như vậy (3) đúng khi n=1
+ Giả sử (3) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là
13+23+...+k3+(k+1)3=(k+1)2(k+2)24
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
13+23+...+k3+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)24.(k2+4k+4)=(k+1)2(k+2)24
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n.
· CHÚ Ý: Bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n)là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n⩾, trong đó plà một số nguyên dương cho trước.
· Để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp, ở bước 1 ta cần chứng minh A(n)là mệnh đề đúng khi n = p và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với klà số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n \geqslant 3, ta luôn có
{2^n} > 2n + 1
Giải: Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n=3, ta có
{2^n} = {2^3} = 8 và 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7.
Rõ ràng 8 > 7, và do đó (4) đúng khi n = 3.
+ Giả sử (4) đúng khi n = k,k \in {\mathbb{N}^*}và k \geqslant 3, tức là
{2^k} > 2k + 1,
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, tức là
{2^{k + 1}} > 2(k + 1) + 1
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
{2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2(2k + 1) = 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1
Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n \geqslant 3
|