Xét một số có
4 chữ số tùy ý đã cho $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$. Có hai khả năng:
1. Nếu $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$
là số chẵn thì có thể lấy $a_{5} \in \left \{1,3,5,7,9\right \}$ và lập được 5
số có 5 chữ số $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ với tổng các chữ số là một
số lẻ
2. Nếu $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$
là số lẻ thì có thể lấy $a_{5} \in \left \{0,2,4,6,8\right \}$ và lập được 5 số
có 5 chữ số $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ với tổng các chữ số là một số
lẻ.
Vì có tất cả
$9.10.10.10=9000$ số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5
chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả $9000.5=45000$ số có 5 chữ
số mà tổng các chữ số là một số lẻ