Bài 103200

Question

Cho hai đường tròn

$(C)$ và

$(C_m)$ có phương trình:

$(C):x^2+y^2=1, (C_m):x^2+y^2-2(m+1)x+4my=5$
a. Chứng minh rằng có hai đường tròn

$(C_{m1}),(C_{m2})$ tiếp xúc với đường tròn

$(C)$ ứng với hai giá trị

$m_1,m_2$ của

$m$ .
b. Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn

$(C_{m1}),(C_{m2})$ .

score 0 · Answer 1

a. Ta có:
* Đường tròn

$(C)$ có tâm

$O(0,0)$ và bán kính

$R=1$ .
* Đường tròn

$(C_m)$ có tâm

$I_m(m+1,-2m)$ và bán kính

$R_m=\sqrt{5m^2+2m+6}$ .
Nhận xét rằng:

$(C)$ và

$(C_m)$ tiếp xúc nhau

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}OI_m=R+R_m \\OI_m = |R-R_m|\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OI_m^2=(R+R_m)^2 \\OI_m^2 = (R-R_m)^2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (m+1)^2+4m^2=(\sqrt{5m^2+2m+6}+1)^2\\(m+1)^2+4m^2=(\sqrt{5m^2+2m+6}-1)^2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5m^2+2m+1=5m^2+2m+7+2\sqrt{5m^2+2m+6}\\5m^2+2m+1=5m^2+2m+7-2\sqrt{5m^2+2m+6} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 6+2\sqrt{5m^2+2m+6}=0(L)\\ 3=\sqrt{5m^2+2m+6} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 9=5m^2+2m+6$

$\Leftrightarrow 5m^2+2m-3=0$

$\Leftrightarrow (5m-3)(m+1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m_1=-1\\m_2 = \frac{3}{5}\end{array} \right.$

b.

$(C_{m_1})$ có tâm

$I_1(0;2)$ và

$R=3$

$(C_{m_2})$ có tâm

$I_2\left (\frac{8}{5};-\frac{6}{5} \right )$ và

$R=3$
Gọi tiếp tuyến chung của

$(C_{-1})$ và

$(C_{\frac{3}{5}})$ là

$\Delta:ax+by+c=0$ , khi đó

$\left\{ \begin{array}{l} d(I_1;\Delta)=R_1\\d(I_2;\Delta)=R_2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{|2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\\ \frac{|8a-6b+5c|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (2b+c)^2=9(a^2+b^2)\\5|2b+c|=|8a-6b+5c| \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 10b+5c=8a-6b+5c\\ 10b+5c=-8a+6b-5c \end{array} \right.\\ 4b^2+4bc+c^2=9a^2+9b^2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} a=2b(1)\\ 4a+2b+5c=0(2) \end{array} \right.\\ 9a^2=c^2+4bc-5b^2(3) \end{array} \right.$
Hệ

$(2)(3)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{2b+5c}{4}\\\frac{4b^2+25c^2+20bc}{16}=c^2+4bc-5b^2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{2b+5c}{4}\\9c^2+84b^2-44bc=0 \end{array} \right.(L)$
Suy ra