Bài 103206

Question

Cho hai đường tròn

$(C)$ và

$(C_m)$ có phương trình:

$(C):x^2+y^2+3ax=0, (C_m):(m^2+1)(x^2+y^2)-2ax-2amy-3a^2=0$
với

$a$ là hằng số và khác

$0$ ,

$m$ là tham số.
Chứng minh rằng

$(C)$ và

$(C_m)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với

$(C)$ và

$(C_m)$ tại mỗi điểm chung này vuông góc với nhau

score 0 · Answer 1

Ta có:

$(C):\left ( x+\frac{3a}{2} \right )^2+y^2=\frac{9a^2}{4}$

$(C_m):\left ( x-a \right )^2+(y-am)^2=4a^2+a^2m^2$
Thay giá trị của gốc O vào phương trình của 2 đường tròn ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} 0^2+0^2+3a.0=0\\ (m^2+1).0-2a.0-2am.0-3a^2=-3a^2<0 do a\neq0. \end{array} \right.$
Nhận xét rằng gốc tọa độ

$O\in (C)$ và

$O$ nằm trong

$(C_m)$ .
Suy ra

$(C)$ và

$(C_m)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Để chứng minh tiếp tuyến với

$(C)$ và

$(C_m)$ tại mỗi điểm chung này vuông góc với nhau bạn đọc có thể làm theo hướng dẫn sau:
* Gọi

$A(x;y)$ là giao điểm, khi đó tọa độ của

$A$ thỏa mãn phương trình của hai đường tròn.
Do mỗi đường tiếp tuyến vuông góc với bán kính tương ứng nên 2 bán kính IA và

$I_mA$ vuông góc với nhau.
Do đó tam giác

$AII_m$ vuông tại A

$\Rightarrow IA^2+I_mA^2=II_m^2$

$\Leftrightarrow R^2+R_m^2=II_m^2$

$\Leftrightarrow \frac{9a^2}{4}+4a^2+a^2m^2=\frac{25a^2}{4}+(am+a)^2$

$\Leftrightarrow a^2m^2=a^2m^2$ (luôn đúng)
Từ đó ta suy ra đpcm.

1 Đáp án