Bài 103221

Question

Cho đường tròn

$(C)$ và đường thẳng

$(d)$ có phương trình:

$(C):x^2+y^2-2x-4y+4=0, (d):x-y-1=0$
- Chứng minh rằng từ

$M\in (d)$ luôn kẻ được hai tiếp tuyến

$MT_1,MT_2$ tới

$(C)$ , trong đó

$T_1,T_2$ là các tiếp điểm. Lập phương trình đường thẳng

$(T_1T_2)$
- Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng

$T_1T_2$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Xét đường tròn

$(C)$ có tâm

$I(1,2)$ và bán kính

$R=1$
Ta có:

$d(I,d)=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}>1=R$
Do đó, qua

$M\in (d)$ luôn kẻ được hai tiếp tuyến

$MT_1,MT_2$ tới

$(C)$ .
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

$(d):\begin{cases}x= 1+t\\ y=t \end{cases},t\in R$
Khi đó

$M\in (d)\Rightarrow M(1+t,t)$ .
Giả sử tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến qua

$M$ tới

$(C)$ là

$T(x_1,y_1)$ , ta có:
- Tiếp tuyến có dạng:

$(x-1)(x_1-1)+(y-2)(y_1-2)=1$
- Tiếp tuyến trên đi qua điểm

$M$ , ta có:

$t(x_1-1)+(t-2)(y_1-2)=1 (1)$
Nhận thấy tọa độ

$T_1T_2$ đều thỏa mãn

$(1)$ , vậy phương trình

$(T_1T_2)$ có dạng:

$t(x-1)+(t-2)(y-2)=1\Leftrightarrow (T_1T_2):tx+(t-2)y-3t+3=0$
Gọi

$N(x,y)$ là điểm cố định mà

$(T_1,T_2)$ luôn đi qua với mọi t, khi đó:

$tx+(t-2)y-3t+3=0, \forall t\Leftrightarrow (x+y-3)t-2y+3=0, \forall t$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y-3=0 \\ -2y+3=0 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}$ .
Vậy

$(T_1T_2)$ luôn đi qua điểm cố định

$N(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

1 Đáp án