Bài 104564

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các trực chuẩn

$Oxyz$ cho đường thẳng (

$d$ ) và mặt phẳng (

$P$ ) có phương trình:

$(d):\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$

$(P): 2x – 2y + z – 3 = 0$

$1$ . Tìm tọa độ điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (

$P$ ). Tính góc giữa đường thẳng (

$d$ ) và
mặt phẳng (

$P$ ).

$2$ . Viết phương trình hình chiếu vuông góc (

$d$ ’) của đường thẳng (

$d$ ) trên mặt phẳng (

$P$ ). Lấy
điểm

$B$ nằm trên đường thẳng (

$d$ ) sao cho

$AB = a$ , với

$a$ là số dương cho trước. Xét tỉ số:

$\frac{{AB + AM}}{{BM}}$ với điểm

$M$ di động trên mặt phẳng (

$P$ ). Chứng tỏ rằng tồn tại một vị trí của

$M$ để tỷ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy..

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/17/2012 1:45:34 PM

$1) (d$ ) có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l} x = t - 1\\ y = 2t + 1\\ z =- 2t + 3 \end{array} \right.$
Thế vào pt (

$P$ ) ta được

$t = -1$ . Thế trở lại pt (

$d$ ) ta được giao điểm của (

$d$ ) với (

$P$ ) là

$A(-2 ;-1 ;5$ ). Gọi

$\varphi$ là góc giữa (

$d$ ) và (

$P$ ) thì :

${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\varphi = \frac{{|2.1 - 2.2 + 1( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^1}} \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{4}{9} \Rightarrow \varphi = {\rm{arcsin}}\frac{4}{9}$

$2$ ) Kí hiệu

$Q$ là mặt phẳng chứa (

$d$ ) và vuông góc với (

$P$ ) thì (

$d’$ ) =

$(Q) \cap (P)$ , (

$d$ ) có VTCP

$\overrightarrow v = (1;2; - 2)$

$(P$ ) có VTPT

$\overrightarrow u (2; - 2;1)$ nên (

$Q$ ) có cặp VTCP

$\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ và có VTPT :

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = (2;5;6)$
(

$Q$ ) qua (

$-1 ;1 ;3)$

$\in (d)$ và có VTPT

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = (2;5;6)$ nên (

$Q$ ) có phương trình :

$2x + 5y + 6z – 21 = 0$
Hình chiếu (

$d’$ ) có phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 2y + z - 3 = 0\\ 2x + 5y + 6z - 21 = 0 \end{array} \right.$
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác

$ABM$ ta có :

$\begin{array}{l} \frac{{AB + AM}}{{BM}} = \frac{{\sin \gamma + \sin \beta }}{{\sin \alpha }} = \frac{{c{\rm{os}}\frac{{\gamma - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} \le \frac{1}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} \le \frac{1}{{\sin \frac{\varphi }{2}}}\\ \frac{{AB + AM}}{{BM}}m{\rm{ax}} = \frac{2}{{\sin \frac{\varphi }{2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c{\rm{os}}\frac{{\gamma - \beta }}{2} = 1\\ \alpha = \varphi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \gamma = \beta \\ M \in d' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AM = AB = a\\ M \in d' \end{array} \right. \end{array}$
Cách dựng

$M$ để

$\frac{{AB + AM}}{{BM}}$ max như sau :
Trong (

$Q$ ) dựng đường tròn tâm

$A$ , bán kính

$a$ cắt

$d’$ tại

$2$ điểm phân biệt.

$M$ chính là một trong

$2$ giao điểm này thỏa mãn điều kiện

$\widehat {BAM} = \varphi$