|
|
1) Cách 1 .
Đặt a−1=x,b−1=y,c−1=z, bài toán dẫn tới :
Với x,y,z∈[−1,1] và x+y+z=0 hãy chứng minh
x2+y2+z2≤2?
Chú ý rằng T2≤|T|∀T∈[−1,1].
Do đó x2+y2+z2≤|x|+|y|+|z|, (a)
Mặt khác từ điều kiện x+y+z=0 chỉ xảy ra khi trong ba số x,y,z có tối đa hai số không dương (≤0)
Xét trường hợp x,y≤0,z≥0:
Vế phải của (a) = −x−y+z=−(x+y+z)+2z=2z≤2. Vậy x2+y2+z2≤2.
Xét trường hợp x≤0,y,z≥0:
Vế phải của (a) = −x+y+z=(x+y+z)−2x=−2x≤2. Vậy x2+y2+z2≤2.
Các trường hợp còn lại làm tương tự.
Cách 2 :
Do a,b,c∈[0,2] và a+b+c=3 nên
0≥(a−2)(b−2)(c−2)=abc−2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)−8
=abc−[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]+4.3−8
=abc−[9−(a+b+c)2]+4=abc+(a+b+c)2−5≥a2+b2+c2−5
⇒a+b+c≤5 (ĐPCM)
2) Do a,b,c∈[−1,2] nên :
(a−2)(a+1)=a2−a−2≤0(b−2)(b+1)=b2−b−2≤0(c−2)(c+1)=c2−c−2≤0
Cộng từng vế và do a+b+c=0 dẫn tới a2+b2+c2≤6. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn với a=2,b=−1,c=−1. Vậy max.
|
|
|
Đăng bài 17-05-12 02:43 PM
|
|