Bài 106360

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$ và một điểm $M$ trên cạnh $AB, AM = x, 0 < x < a$. Xét mặt phẳng ($P$) đi qua điểm $M$ và chưa đường chéo $A’C’$ của hình vuông $A’B’C’D’.$
$1.$ Tính diện tích của thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng ($P$).
$2. $ Mặt phẳng ($P$) chia hình lập phương thành hai khối đã diện. Hãy tìm $x$ để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/31/2012 2:13:00 PM

$1.$ Kẻ $MN$ song song $AC$ thì $A’C’NM$ chính là thiết diện tạo thành.
$O’J$ là đường cao hình thang $A’C’M’N’.$ (vì $A'C'$ vuông góc với mp$(OO'J)$)
$\frac{OJ}{OB}=\frac{AM}{AB}\Leftrightarrow\frac{OJ}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{x}{a}\Rightarrow{{OJ}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow O'J = \sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$MN = MB.\sqrt 2 = (a - x)\sqrt 2 $
Thiết diện có diện tích:
$S = \frac{1}{2}\left( {a\sqrt 2 + (a - x)\sqrt 2 } \right)\sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$\Rightarrow S=\frac{1}{\sqrt{2}}(2a-x) \sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$2. (P)$ chia hình lập phương thành $2$ phần có thể tích gấp đôi nhau
$ \Leftrightarrow A'C'NMB$ có thể tích $ = \frac{1}{3}$ thể tích hình lập phương $ =
\frac{{{a^3}}}{3}$. Ta có:
$\begin{array}{l}
{V_{A'C'NBM}} = {V_{A'BMN}} + {V_{A'B'C'NB}}\\
= \frac{1}{6}{\left( {a - x} \right)^2}a + {V_{A'B'C'NB}}
\end{array}$

$V_{A'B'C'NB}=V_{A'B'BN}+V_{A'B'C'N}=\frac{1}{6}a.a.(a-x)+\frac{1}{6}a.a^2$

$=\frac{a^2}{6}(2a-x)$
$\Rightarrow V_{A'C'NBM}=\frac{a}{6}(x^2-3ax+3a^2)$

YCBT $ \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{3} = \frac{a}{6}\left( {{x^2} - 3ax + 3{a^2}} \right)$
$\Leftrightarrow x^2-3ax+a^2=0$
$ \Leftrightarrow x = a\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Bài 106360

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106360

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan