Bài 106912

Question

Giả sử

$f$ là một phép dời hình có ba điểm bất động không thẳng hàng, tức là tồn tại

$A, B, C$ không thẳng hàng sao cho:

$A=f(A), B=f(B), C=f(C).$
Chứng minh rằng

$f$ là phép biến hình đồng nhất (nghĩa là với mọi điểm

$M$ , ta có

$f(M)=M)$

phuongna · Answer 1 · 6/5/2012 3:04:02 PM

Cách 1.
Gọi

$M$ là một điểm bất kì, đặt

$M'=f(M)$ tức là

$M'$ là ảnh của

$M$ qua phép dời hình

$f$ , ta chứng minh

$M'=M$ bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử

$M'\neq M$ . Gọi

$(d)$ là trung trực của đoạn thẳng

$MM'.$ Vì

$A=f(A), B=f(B), C=f(C)$ nên theo định nghĩa của phép dời hình (bảo toàn khoảng cách), ta có

$AM=AM', BM=BM', CM=CM'.$
Nói cách khác

$A, B, C$ nằm cùng trên

$(d)$ , nghĩa là chúng thẳng hàng, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy với mọi điểm

$M$ , ta có

$f(M)=M.$

Cách 2.
Theo tính chất của phép dời hình, dễ dàng suy ra rằng bất kì một điểm nào trên các đường thẳng

$BC, CA$ hoặc

$AB$ đều là điểm bất động.
Bây giờ xét điểm

$M$ bất kì nằm ngoài các đường thẳng

$BC, CA$ và

$AB$ . Cũng theo tính chất của phép dời hình, ta suy ra ảnh của

$M$ sẽ nằm đồng thời trên cả ba tam giác

$MAB, MBC, MCA$ , điều này chỉ có thể xảy ra khi ảnh của

$M$ chính là

$M$ .

1 Đáp án