Bài 106938

Question

Giả sử phép dời hình

$f$ biến tam giác

$ABC$ thành tam giác

$A'B'C'$ . Chứng minh rằng:
a) Trọng tâm tam giác

$ABC$ biến thành trọng tâm tam giác

$A'B'C';$
b) Trực tâm tam giác

$ABC$ biến thành trực tâm tam giác

$A'B'C';$
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

$ABC$ lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

$A'B'C'$ .

phuongna · Answer 1 · 6/5/2012 3:47:01 PM

a) Gọi

$D$ là trung điểm đoạn thẳng

$BC$ thì phép dời hình

$f$ biến điểm

$D$ thành trung điểm

$D'$ của đoạn thẳng

$B'C'$ và vì thế trung tuyến

$AD$ của tan giác

$ABC$ biến thành trung tuyến

$A'D'$ của tam giác

$A'B'C'$ . Đối với hai trung tuyến còn lại cũng thế. Vì trọng tâm tam giác là điểm gặp nhau của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác

$ABC$ biến thành trọng tâm tam giác

$A'B'C'$ .

b) Gọi

$AH$ là đường cao của tam giác

$ABC (H \in BC).$ Khi đó qua phép biến hình

$f$ , điểm

$H$ biến thành điểm

$H'\in B'C'$ , tam giác

$ABH$ biến thành tam giác

$A'B'H'$ nên hai tam giác đó bằng nhau. Suy ra góc

$A'B'H'$ vuông tại

$H'$ , vậy

$A'H'$ là đường cao của tam giác

$A'B'C'$ .
Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác tam giác là điểm gặp nhau của các đường cao nên trực tâm tam giác

$ABC$ biến thành trực tâm tam giác

$A'B'C'$ .

c) Nếu

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$ thì

$OA=OB=OC$ nên nếu điểm

$O$ biến thành điểm

$O'$ thì

$O'A'=O'B'=O'C',$
do đó

$O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$A'B'C'$ .
Nếu

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

$ABC$ thì

$I$ biến thành điểm

$I'$ sao cho

$A'I'$ và

$B'I'$ lần lượt là phân giác của goác

$A'$ và

$B'$ (do phép dời hình biến các góc bằng nhau thành các góc bằng nhau), suy ra

$I'$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

$A'B'C'$ .

Bài 106938

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106938

1 Đáp án

Liên quan

HAI HÌNH BẰNG NHAU

Lý thuyết liên quan