Với số phức $z=x+yi (x, y\in R)$ được biều diễn bởi điểm $M(x; y)$
Ta có:
$k=|\frac{z}{z-i} |=|\frac{x+yi}{x+yi-i}| \Leftrightarrow k^2=\frac{x^2+y^2}{x^2+(y-1)^2} $ (*)
Xét hai trường hợp :
+) Trường họp 1: Nếu $k=1$ thì:
(*)$\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=x^2+y^2 \Leftrightarrow u=\frac{1}{2} $
Tức là điểm M thuộc đường thẳng $y=\frac{1}{2} $
+) Trường hợp 2: Nếu $k \neq 1$ thì:
(*) $\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{2k^2y}{k^2-1}+\frac{2k^2}{k^2-1}=0 \Leftrightarrow x^2+(y-\frac{k^2}{k^2-1})^2=\frac{k^2}{(k^2-1)^2} $
Tức là điểm M thuộc đường tròn tâm $I(0; \frac{k^2}{k^2-1})$, bán kính $R=\frac{k}{|k^2-1|} $