Bài 111230

Question

Cho

$4$ điểm phân biệt

$A, B, C, D$ cố định và theo thứ tự đó cũng ở trên một đường thẳng. Hai đường tròn di động qua

$A, B$ và

$C, D$ cắt nhau tại

$M, N$ .
a) Chứng minh

$MN$ đi qua một điểm cố định

$K$ .
b) Chứng minh các tiếp điểm của tiếp tuyến với hai đường tròn trên vẽ từ

$K$ , thì thuộc một đường tròn cố định.

Kit Nguyen · Answer 1 · 7/10/2012 9:28:36 AM

a) Gọi

$K$ là giao điểm của

$M, N$ và đường thẳng chứa

$A, B, C, D$ .
Ta có:

$\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KA}.\overline{KB}$

$\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KC}.\overline{KD}$

$\Rightarrow \overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD} (1)$

$(1)$ chứng tỏ

$K$ cố định.
Vậy

$MN$ đi qua điểm cố định

$K$ .

b) Gọi

$T_1, T_2, T_3, T_4$ là các tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ

$K$ tới hai đường tròn đó.
Suy ra:

$\overline{KT_1}^2 =\overline{KT_2}^2=\overline{KT_3}^2=\overline{KT_4}^2$

$=\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KA}.\overline{KB}=$ hằng số.
Vậy bốn tiếp điểm

$T_1, T_2, T_3,T_4$ nằm trên đường tròn cố định tâm

$K$ bán kính

$R=\sqrt{\overline{KA}.\overline{KB} }$ .

Trong phần a) có thể lý giải cụ thể hơn tại sao khi

$\overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD}$ thì

$K$ là điểm cố định.
Bằng cách coi đường thẳng chứa

$4$ điểm

$A, B, C, D$ là một trục số và gắn cho các điểm này tọa độ tương ứng là

$A(a); B(b); C(c); D(d)$ . Và đặt

$K(x)$ .
Ta có :

$\overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD}$

$\Rightarrow(a-x)(b-x)=(c-x)(d-x)$

$\Rightarrow ab-(a+b)x=cd-(c+d)x$

$\Rightarrow (a+b-c-d)x=ab-cd$
Trong trường hợp tổng quát thì

$a+b-c-d \ne 0$ vì thế

$x = \frac{ab-cd}{a+b-c-d}$
Đẳng thức này chứng tỏ rằng

$K$ là điểm cố định.

1 Đáp án