a) Gọi $AM, BN, CP$ là các đường cao của $\Delta ABC$. Tứ giác $ANHP$ nội tiếp.
Ta có: $\widehat{NHP}=180
^\circ - \widehat{A} $
Mà $\widehat{BHC}=\widehat{NHP} $ (đối đỉnh)
Do đó: $\widehat{BHC}=180
^\circ - \widehat{A} $ (không đổi).
Vậy tập hợp các điểm $H$ là cung tròn $BHC$ chứa góc $(180
^\circ -\widehat{A} )$ qua $B$ và $C$. (đối xứng cung nhỏ $BC$ qua đường thẳng $BC$)
b) Tứ giác $ABH'C$ nội tiếp, ta có:
$\widehat{BH'C}=180
^\circ -\widehat{A}=\widehat{BHC} $
Ta lại có $HH'$vuông góc với $BC$.
Vậy $H'$ là ảnh của $H$ trong phép đối xứng qua $BC$.
Ta có: $\widehat{BH'C}=180
^\circ -\widehat{A} $ không đổi. Vậy tập hợp các điểm $H'$ là cung tròn $BH'C$ chứa góc $(180^\circ-\widehat{A} )$ qua $B, C$. Cung tròn $\widehat{BH'C} $ là ảnh của cung tròn $BHC$ trong phép đối xứng qua đường thẳng $BC$.
c) Điểm $A$ chạy trên cung tròn $BAC$ của đường tròn $(O), A'$ là ảnh của $A$ trong phép đối xứng qua $BC$. Vậy tập hợp các điểm $A'$ là cung tròn $BA'C$ ảnh của cung tròn $BAC$ trong phép đối xứng qua $BC$.