Giả sử hai đường tròn là $(O;R)$ và $(O';R')$ và đặt $k=\frac{R'}{R}$.
Trên $OO'$ lấy hai điểm $I$ và $I'$ sao cho $\overrightarrow {IO'}=k\overrightarrow {IO}$ và $\overrightarrow {I'O'}=-k\overrightarrow {I'O}$
Như vậy có hai phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ và tâm $I'$ tỉ số $-k$ biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Lấy điểm
$M$ bất kỳ trên $(O)$
Phép vị tự
tâm $I$ tỉ số $k$ biến $M$ thành $M’$ thỏa mãn : $\overrightarrow{IM’}=k\overrightarrow{IM}$
$\Rightarrow\Delta
IOM$ đồng dạng với $\Delta IO’M’ (c.g.c)$
$\Rightarrow\frac{OM}{O’M’}=\frac{IO}{IO’}=\frac{1}{k}=\frac{R}{R’}\Rightarrow
O’M’=R’$
$\Rightarrow
M’\in(O’)$
Như vậy
phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $(O)\to (O’)$
Tương tự chứng
minh phép vị tự tâm $I’$ tỉ số $-k$