Lấy điểm A∈(P) và A′∈(P′) và gọi I là trung điểm của AA′.
a) Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ →v=→AA′ đều biến (P) thành (P′).
Vì có vô số vectơ →v nên có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (P′).
b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua I và song song với mặt phẳng (P), khi đó phép đối xứng qua mặt phẳng (Q) sẽ biến (P) thành (P′).
Thật vậy, lấy M tùy ý thuộc (P) và gọi M′ là ảnh của M qua Đ(Q), ta có:
MM′⊥(Q) tại M0 là trung điểm của MM′.
Khi đó, ta có:
IAIA′=M0MM0M′=1
⇔A′M′,AM,IM0 theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song.
⇒M′∈(P′)
Vì mặt phẳng (Q) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng qua mặt phẳng biến (P) thành (P′).
c) Phép đối xứng tâm I sẽ biến (P) thành (P′).
Thật vậy, lấy M tùy ý thuộc (P) và gọi M′ là ảnh của M qua Đ(I), ta có:
ΔMAI=ΔM′A′I′ (c.g.c) ⇒^MAI=^M′A′I′
⇒A′M′//AM⇒M′∈(P′)
Vì có vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (P) thành (P′).
d) Gọi (d) là đường thẳng qua I và song song với (P), khi đó phép đối xứng qua đường thẳng (d) biến (P) thành (P′).
Thật vậy, lấy M tùy ý thuộc (P) và gọi M′ là ảnh của M qua Đ(a), ta có:
MM′⊥(d) tại M0 là trung điểm của MM′.
Khi đó, ta có:
IAIA′=M0MM0M′=1
⇔A′M′,AM,IM0 theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song.
⇒M′∈(P′)
Vì có vô số đường thẳng (d) (mọi đường thẳng trong mặt phẳng (Q) ) nên có vô số phép đối xứng trục biến (P) thành (P′).