Bài 3470

Question

Người ta lồng một hòn bi có lỗ xuyên suốt và có khối lượng m vào một que sắt AB nghiêng góc $\alpha $ so với mặt bàn nằm ngang. Lúc đầu bi đứng yên
1) Cho que tịnh tiến trong mặt phẳng thẳng đứng chứa nó với gia tốc nằm ngang $\overrightarrow {a_0} $ hướng sang trái. Giả sử không có ma sát giữa bi và que. Hãy tính :
a) Gia tốc a của bi đối với que;
b) Phản lực Q của que lên bi;
c) Tìm điều kiện để bi :
- Chuyển động về phía đầu A;
- Chuyển động về phía đầu B;
- Đứng yên.
2) Cũng hỏi như trên nhưng gia tốc $\overrightarrow {a_0} $ hướng sang phải.
3) Hỏi như câu 1 nhưng cho biết $a_0=2g$ (g là gia tốc trọng trường) và có ma sát giữa bi và que, với hệ số ma sát $\mu =\frac{1}{3} $

Chu Đức Anh · Answer 1 · 9/12/2012 3:48:07 PM

1) Chọn hệ toạ độ $Oxy$ găn với que, trục Oy hướng vuông góc với que. Ngoài trọng lực $\overrightarrow {P}=m\overrightarrow {g} $, phản lực vuông góc $\overrightarrow {Q} $ (không có ma sát), bi còn chịu tác dụng của lực quán tính $\overrightarrow {F_{qt}}=-m\overrightarrow {a_0} $
Áp dụng định luật II Niu-tơn cho bi : $\overrightarrow {P}+\overrightarrow {Q} -m\overrightarrow {a_0}=m\overrightarrow {a}   $
Chiếu phương trình véctơ lên các trục toạ độ ($\overrightarrow {a}$ có phương AB) :
         $-mg\sin \alpha +ma_0\cos\alpha =ma$
         $-mg\cos\alpha +Q-ma_0\sin \alpha =0$
($a$ và $Q$ là giá trị đại số). Suy ra $a=a_0\cos\alpha -g\sin\alpha $
$Q=m(g\cos\alpha +a_0\sin\alpha )>0$
($\overrightarrow {Q} $ hướng lên trên, như hình vẽ)
+ Để cho bi đi về phía đầu A, thì $a>0$, muốn vậy $\tan\alpha >\frac{a_0}{g} $
+ Để cho bi đi về phía đầu B, thì $a<0$, muốn vậy : $\tan\alpha <\frac{a_0}{g} $
+ Để cho bi đứng yên thì $a=0$, muốn vậy $\tan\alpha =\frac{a_0}{g} $

2) Tương tự như trên, (đổi dấu thừa số chứa $a_0$) ta có :
         $a=-(a_0\cos\alpha +g\sin\alpha )<0$ : bi đi về phía A
Phản lực : $Q=m(g\cos\alpha -a_0\sin \alpha )$
Ta thấy nếu $\tan\alpha <\frac{g}{a_0} $ nghĩa là góc $\alpha $ đủ nhỏ (hoặc $a_0$ đủ nhỏ) thì $Q>0$ nghĩa là $\overrightarrow {Q} $ hướng lên trên.
Ngược lại nếu $\tan \alpha >\frac{g}{a_0} $ thì $\overrightarrow {Q} $ hướng xuống dưới
Còn nếu $\tan \alpha =\frac{g}{a_0} $ thì $Q=0$; trong trường hợp này, nếu xét hình chiếu $a_n$ của $\overrightarrow {a} $ lên phương thẳng đứng ta có :
         $a_n=a\sin \alpha $ suy ra $a_n=-(a_0\cos\alpha .\sin\alpha +g\sin^2\alpha )=-g$
Vậy chuyển động theo phương thẳng đứng của bi là sự rơi tự do.

3) Trước hết ta xét trường hợp bị trượt trên que (đi lên hay đi xuống).
Ngoài ba lực nêu ở câu 1, bi còn chịu tác dụng của lực ma sát trượt.
$F_{ms}=\mu Q=\frac{Q}{3} $, ;lực $\overrightarrow {F_{ms}} $ ngược chiều với vận tốc của bi.
Vì ban đầu đứng yên nen $\overrightarrow {F_{ms}} $ ngược chiều với $\overrightarrow {a} $
Áp dụng định luật II niu-tơn : $\overrightarrow {P}+\overrightarrow {Q}-m\overrightarrow {a_0}+\overrightarrow {F_{ms}}=m\overrightarrow {a}     $
Chiếu phương trình vectơ lên các trục Oy và Ox (thay $a_0=2g$)
         $-mg\cos\alpha +Q-2mg\sin\alpha =0\Rightarrow Q=mg (\cos\alpha +2\sin\alpha )        (1)$
         $-mg\sin\alpha +2mg\cos\alpha \pm \frac{Q}{3}=mg         (2) $
(lấy dấu "+" nếu $a<0$ và dấu "-" nếu $a>0$)

+ Xét trường hợp $a<0$(bi đi xuống) : từ $(2)$ (lấy dấu "+") và $(1)$
suy ra : $a=\frac{g}{3} (7\cos\alpha -\sin \alpha )           (3)$
Vì $a<0$ nên phải có điều kiện về góc $\alpha :\tan\alpha <7$ hay $\alpha >82^0$. Như vậy trường hợp $\alpha <0$ chỉ xảy ra nếu $\alpha >82^0$

+ Xét trường hợp $a>0$ (bi đi lên) : từ $(2)$ (lấy dấu "-") và $(1)$
suy ra : $a=\frac{5g}{3} (\cos\alpha -\sin\alpha )           (4)$
Vì $a>0$ nên phải có điều kiện về góc $\alpha : \tan\alpha <1$ hay $\alpha <45^0$. như vậy trường hợp $a>0$ chỉ xảy ra nếu $\alpha <45^0$
Các kết quả trên có thể dự đoán được một cách định tính. Khi que đi sáng trái với gia tốc $a_0=2g$ thì lực quán tính $\overrightarrow {F_{qt}} $ có độ lớn $F=ma_0=2mg$ và hướng sang phải sẽ có xu hướng keo bi đi lên, nhưng trọng lực $\overrightarrow {P} $ (và lực ma sát $\overrightarrow {F_{ms}} $) chống lại xu hướng ấy. Nếu góc $\alpha $ đủ lớn $(\alpha >82^0)$ thì trọng lực thắng, bi tụt xuống. Còn nếu góc $\alpha $ nhỏ $(\alpha <45^0)$ thì lực quán tính thắng, bi đi lên.

+ Bây giờ ta xét trường hợp $45^0\leq \alpha \leq 82^0$. Khi đó hiển nhiên là $a=0$ bi đứng yên. Tuỳ theo góc nghiêng $\alpha $ của que (trong khoảng đó), mà $\mu$ có các giá trị trong khoảng từ $0$ đến $\frac{1}{3} $, nghĩa là ứng với lực ma sát nghỉ, lực này đảm bảo sự cân bằng của bi trên que.

Bài 3470

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 3470

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan