Phương pháp 1. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên
[x]=n⇔{n∈Zn≤x<n+1⇔{n∈Z0≤x−n<1
Ví dụ 1. Giải phương trình
[3x+15]=2x−1(1)
Lời giải :
PT (1)⇔{2x−1∈Z0≤3x+15−2x+1<1⇔{2x−1∈Z0≤−7x+65<1
⇔{2x−1∈Z0≤−7x+6<5⇔{2x−1∈Z17<x≤67⇔x=12
Vậy nghiệm của PT (1) là x=12.
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của PT
[x2]+[x3]=17(2)
Lời giải :
Ta có :
{0≤x2−[x2]<10≤x3−[x3]<1⇒0≤x2+x3−([x2]+[x3])<2
⇒0≤5x6−17<2⇒102≤5x<114⇒1025≤x<1145.
Kết hợp với x∈Z, ta được x=21,x=22.
Tóm lại : x=21 thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của (2) là x=21.
Ví dụ 3. Giải phương trình
[x]2−2[x]−3=0(3)
Lời giải :
PT (3)⇔[x].([x]−2)=3=3.1=(−1).(−3)
Do [x], [x]−2 là các số nguyên và [x]>[x]−2 nên [[x]=3[x]=−1
Nếu [x]=3⇔3≤x<4.
Nếu [x]=−1⇔−1≤x<0.
Vậy tập nghiệm của PT (3) là : [3,4)∪[−1,0).
Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên.
Ví dụ 4. Giải phương trình
[7x−53]=16x+35(4)
Lời giải :
Đặt 16x+35=y,(y∈Z), ta có
16x+3=5y⇒x=5y−316⇒7x−53=35y−10148
Do đó
PT
⇔[35y−10148]=y⇔0≤35y−10148−y<1⇔0≤−13y−101<48
⇔−10113≥y>14913⇔y∈{−8;−9;−10;−11} do y∈Z.
Với y=−8 thì 16x+35=−8⇔x=−4316.
Với y=−9 thì 16x+35=−9⇔x=−3.
Với y=−10 thì 16x+35=−10⇔x=−5316.
Với y=−11 thì 16x+35=−11⇔x=−5816.
Vậy tập nghiệm của PT (4) là : {−4316;−3;−5316;−5816}.
Ví dụ 5. Giải phương trình
x2−6[x]+5=0
Lời giải :
Đặt [x]=y(y∈Z) thì từ (5) ta có 6y=x2+5.
Suy ra y>0. Lại có y≤x<y+1 nên y2+5≤x2+5<y2+2y+6⇔y2+5≤6y<y2+2y+6
⇔{y2−6y+5≤0y2−4y+6>0⇔1≤y≤5.
Do y∈Z và 1≤y≤5 nên y∈{1,2,3,4,5}.
Với y=1 thì {[x]=1x2=1⇔x=1.
Với y=2 thì {[x]=2x2=7⇔{2≤x<3x=±√7⇔x=√7.
Với
y=3 thì {[x]=3x2=13⇔{3≤x<4x=±√13⇔x=√13.
Với y=4 thì {[x]=4x2=19⇔{4≤x<5x=±√19⇔x=√19.
Với y=5 thì {[x]=5x2=25⇔x=5.
Vậy tập nghiệm của PT (5) là {1,√7,√13,√19,5}.
Phương pháp 3. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú ý rằng nếu x≥y thì [x]≥[y].
Ví dụ 6. Giải phương trình
x4=2x2+[x]
Lời giải :
PT (6)⇔[x]=x2(x2−2).
Ta xét các trường hợp sau :
* Nếu x2=2 thì {x=±√2[x]=0⇔ không tồn tại x.
*
Nếu x2<2 thì {−√2<x<√2[x]≤0⇔[[x]=0[x]=−1
Với [x]=0 thì {x2(x2−2)=00≤x<1⇔x=0;
Với [x]=−1 thì {x4−2x2+1=0−1≤x<0⇔x=−1;
* Nếu x2>2 thì {[x>√2x<−√2[x]>0⇔x>√2
Suy ra 1≤[x]≤x do đó
[x]=x2(x2−2)≥[x]=[x]2(x2−2)
⇔[x](x2−2)≤1⇒[x]=1.
Từ đó x4−2x2−1=0⇔x=√1+√2 (do [x]=1).
Giá trị này thuộc khoảng đang xét.
Vậy tập nghiệm của PT (6) là {−1,0,√1+√2}.
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
1. [2−5x4]=−x.
2. [2x−13]=[x+12].
3. [1−x2]+[1−x2]=1−3x8.
4. 1−[x+1]=[x]−x[x−1].
5. x4−3x2−[x]=0.
|