A. CÁC BƯỚC GIẢI
Bước 1. Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n=1.
Bước 2. Với k là số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là mệnh đề đúng khi n=k , chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng khi n=k+1.
Bước 3. Khẳng định mệnh đề đúng với mọi giá trị tự nhiên của n.
B. ÁP DỤNG
Dạng I. Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
1.2+2.3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3(1)
Giải. với n=1, ta có Vế trái (VT) =1.2=2, Vế phải (VP)=1.2.33=2 nên (1) đúng với n=1.
Gỉa sử (1) đúng với n=k , tức là
1.2+2.3+⋯+k(k+1)=k(k+1)(k+2)3,k∈N∗. Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
1.2+2.3+⋯+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)3
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
1.2+2.3+⋯+k(k+1)+(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)3
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
1+3+5+⋯+(2n−1)=n2(2)
Giải. với n=1 ta có VT =1, VP =1 nên (2) đúng với n=1.
Giả sử (2) đúng với n=k, tức là.
1+3+5+⋯+(2k−1)=k2,k∈N∗.
Ta chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là chứng minh
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=(k+1)2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2
Vậy (2) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài tập tương tự. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
1+2+3+⋯+n=n(n+1)2
2+5+8+⋯+3n−1=n(3n+1)2
12+14+18+⋯+12n=2n−12n
Dạng II. Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥3, ta luôn có 2n>2n+1(3)
Giải
Với n=3, ta có VT =8; VP=7 , nên (3) đúng với n=3.
Giả sử (3) đúng với n=k, tức là 2k>2k+1,k∈N∗,k≥3
Ta chứng minh (3) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh 2k+1>2(k+1)+1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có 2k+1=2.2k>2(2k+1)=4k+2=2k+3+(2k−1)>2k+3 , do k∈N∗,k≥3.
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên n≥3.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2, ta luôn có 3n>3n+1(4)
Giải
Với n=2, ta có VT =9; VP=7 , nên (4) đúng với n=3.
Giả sử (4) đúng với n=k, tức là 3k>3k+1,k∈N∗,k≥2
Ta chứng minh (4) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh 3k+1>3(k+1)+1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có 3k+1=3.3k>3(3k+1)=9k+3>3k+6=3(k+1)+3, do k∈N∗,k≥2.
Vậy (4) đúng với mọi số nguyên n≥2.
Bài tập tương tự. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2, ta luôn có 2n+1>2n+3.
Dạng III. Chứng minh sự chia hết
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có n3−n chia hết cho 3. (5)
Giải
Với n=1, ta có n3−n=0 chia hết cho 3 , nên (5) đúng với n=1.
Giả sử (5) đúng với n=k, tức là k3−k chia hết cho 3 ,k∈N∗,k≥1
Ta chứng minh (5) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh (k+1)3−(k+1) chia hết cho 3
Thật vậy, ta có (k+1)3−(k+1)=(k3−k)+3k(k+1).
Rõ ràng 3k(k+1) chia hết cho 3 và k3−k chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp.
Vì thế (k+1)3−(k+1) chia hết cho 3.
Vậy (5) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có 4n+15n−1 chia hết cho 9. (6)
Giải
Với n=1, ta có 4n+15n−1=18 chia hết cho 9 , nên (6) đúng với n=1.
Giả sử (6) đúng với n=k, tức là 4k+15k−1 chia hết cho 9 ,k∈N∗,k≥1
Ta chứng minh (6) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh 4k+1+15(k+1)−1 chia hết cho 9
Thật vậy, ta có 4k+1+15(k+1)−1=4(4k+15k−1)−45k+18.
Rõ ràng −45k+18 chia hết cho 9 và 4k+15k−1 chia hết cho 9 theo giả thiết quy nạp.
Vì thế 4k+1+15(k+1)−1 chia hết cho 9.
Vậy (6) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài tập tương tự. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n
n3+3n2+5n chia hết cho 3;
n3+11n chia hết cho 6;
7n−1 chia hết cho 6.