Bài 7:
Nhận xét: Chắc chắn xuất phát từ phương trình (1) bằng việc quy đồng mãu thu gọn thì đây là phương trình bậc 2 đối với biến y. Khi đó, bạn đọc có thể tính $\Delta y$ để khảo sát !!. Đây là một trong những hướng ra đề mà anh nghĩ là có thể xẩy ra, vì nó chỉ có che dấu đi hình thức quen thuộc mà ta đã biết.
Lời giải chi tiết :
Điều kiện xác định $x\neq 1 ;y>0$
$x-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{y}{x+1}-\frac{1+y}{y}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1+y}{y}=\frac{y}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+y+1}{y}=\frac{y(x+1)+1}{(x+1)^2}$
$\Leftrightarrow xy+y+1=0$ or $y=(x+1)^2$
Với $y=(x+1)^2$ thay vào (2) ta có:
$\sqrt{8(x+1)+9}=(x+1)|x+1|+2$
Xét $x>-1$ đặt $t=x+1(t>0)$, ta có phương trình:
$\sqrt{8t^2+9}=t^2+2\Leftrightarrow 8t^2+9=t^4+4t^2+4\Leftrightarrow t^4-4t^2-5=0\Leftrightarrow t^2=5$
$\Leftrightarrow t=\sqrt{5}\Rightarrow x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=5$
Xét $x<-1$ đặt $t=x+1(t<0)$, ta có phương trình :
$\sqrt{8t^2+9}=-t^2+2\Leftrightarrow \begin{cases}8t^2+9=t^4-4t^2+4 \\ -t^2+2\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t^4-12t^2-5=0\\ t^2\leq 2\end{cases} \Rightarrow $ Vô nghiệm
Với $(x+1)y=-1$ thay vào (2) ta có :
$\sqrt{8y+9}+\frac{1}{y}\sqrt{y}-2=0(3)$
Vì $y>0\Rightarrow \sqrt{8y+9}>3$ nên (3) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(-1+\sqrt{5},5)$