ta chứng mình bổ đề $x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$
ápduụng BĐT AM-GM ta có $x^5+y^5=\frac{3x^5+2y^5}{5}+\frac{3y^5+2x^5}{5}\geq x^3y^2+y^3x^2=x^2y^2(x+y)$
$\Rightarrow \frac{xy}{x^5+y^5+xy}\leq \frac{xy}{xy[1+xy(x+y)]}=\frac{xyz^2}{xyz[z+xyz(x+y)]}=\frac{z}{x+y+z}$
với cách làm tương tự ta có đpcm

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có
$a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{(a^2+b^2)(a+b+2)}=\sqrt{a+b+2}$
mà $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

cách 2
$96=16(x^2+xy+y^2)+3(y^2+yz+z^2)=16\left ( y+\frac{x}{2} \right )^2+\frac{9z^2}{4}+3\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2+12x^2=(4y+2x-\frac{3z}{2})^2+3(y+\frac{z}{2}-2x)^2+12(xy+yz+zx)\geq 12(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx\leq \frac{96}{12}=8$

cách 1
Đặt vectơ a có tọa độ ( y + x/2; √3x/2 ); vectơ b có tọa độ ( √3z/2; y + z/2 )

Tích vô hướng của 2 vectơ là

a.b = √3zy/2 + √3xz/4 + √3xy/2 + √3xz/4 = √3/2( zy + xz/2 + xy + xz/2 ) = √3/2( xy + zx + yz )

Độ dài các vectơ là

| a | = √( y² + xy + x²/4 + 3x²/4 ) = √( x² + xy + y² ) = √3
| b | = √( 3z²/4 + y² + xz + z²/4 ) = √( z² + yz + y² ) = √16

Áp dụng tính chất tích vô hướng của 2 vectơ ta có | a.b | ≤ | a |.| b |

=> √3/2( xy + zx + yz ) ≤ √3.√16

=> xy + xz + yz ≤ 8

$VT=\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{ba+bc}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ca+cb}\geq \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}= \frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2}=\frac{3}{2}$
dấu$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$