Xét hàm số: $f(x)=12^x+13^x+14^x-(2^x+3^x+4^x+870x^3-2400x^2+1560x)$ thì có
$f'(x)=12^x.ln12+13^xln13+14^xln14-2^x.ln2-3^xln3-4^xln4-1740x^2+4800x-1560$
$...$
$f^{(4)}(x)=12^xln^412+13^xln^413+14^xln^414-2^xln^42-3^xln^43-4^xln^44$
Ta xét trường hợp:
+ Nếu $x<0$, áp dụng BĐT Bernoulli cho số $x<0$
Ta có: $12^x>1+11x$
Tương tự: $13^x>1+12x;14^x>1+13^x$
$\Rightarrow 12^x+13^x+14^x>3+36x$
Lại có:
$2^x+3^x+4^x+870x^3-2400x^2+1560x<3+36x+870x^3-2400x^2+1560x<3+36x$
Do đó: $12^x+23^x+14^x>2^x+3^x+4^x+870x^3-2400x^2+1560x$
Điều này mâu thuẫn với đề bài
+ Nếu $x\geq 0$ thì $f^{(4)}(x)\geq 0$. Do đó phương trình đã cho có tối đa 4 nghiệm
Nhận thấy $x=0,x=1,x=2,x=3$ thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=${0,1,2,3}