Pt $(1)$ logarit cơ số 2013 2 vế ta được:
$\log_{2013}(y^2+2014)+y^2=\log_{2013}(x^2+2014)+x^2$
$\Leftrightarrow f(y^2)=f(x^2)$
Xét hàm số $f(t)=\log_{2013}(t+2014)+t$ trên nửa khoảng $[0;+\infty )$ thì có
$f'(t)=\frac{t}{(t^2+2014)\ln2013}+t\geq 0,\forall t\in [0;+\infty )$
$\Rightarrow $ Hàm $f$ đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\infty )$
$\Rightarrow x=\pm y$
+ Với $x=y$ thì Pt $(2)\Leftrightarrow \log_33(x+2)=2\log_22(x+1)+1$
$\Leftrightarrow \log_3(x+2)=2\log_22(x+1)$ $(\star)$
Đặt $t=\log_22(x+1)\Rightarrow 2^{t-1}-1=x$
Pt $(\star)$ trở thành: $\log_3(2^{t-1}+1)=2t$
$\Leftrightarrow 2^{t-1}+1=9^t$
Bó tay với nghiệm này