Đặt: $1+a^2=x,1+b^2=y,1+c^2=z\Rightarrow x,y,z\in[1,2]$.Giả sử $y$ là số nằm giữa $x$ và $z$.Khi đó: $\left(\dfrac{x}{y}-1\right)\left(\dfrac{y}{z}-1\right)\ge0\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+1\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z} (1)$Lại có: $(x-2z)(2z-z)\le0\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\le\dfrac{5}{2} (2)$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $P\le\dfrac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(1,0,0)$

Đặt: $1+a^2=x,1+b^2=y,1+c^2=z\Rightarrow x,y,z\in[1,2]$.Giả sử $y$ là số nằm giữa $x$ và $z$.Khi đó: $\left(\dfrac{x}{y}-1\right)\left(\dfrac{y}{z}-1\right)\ge0\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+1\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z} (1)$Lại có: $(x-2z)(2x-z)\le0\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\le\dfrac{5}{2} (2)$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $P\le\dfrac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(1,0,0)$

Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

Bài 1. Giải hệ phương trình:$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$Bài 2. Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón $(C)$. Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón $(C)$, tiếp xúc $(S_1),$ $(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?Bài 3. Giả sử $a,b,c$ là các số dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$Bài 4. Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$Bài 5. Cho các dãy số {$x_n$} và {$y_n$} được xác định bới công thức $x_1=a>0,y_1=b>0$$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }y_n$Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:$P(x,y)=x^n+xy+y^n$không thể viết dưới dạng $P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$, trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng

Hệ phương trình

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Bất đẳng thức

Hình học phẳng

Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

Bài 1. Giải hệ phương trình:$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$Bài 2. Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón $(C)$. Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón $(C)$, tiếp xúc $(S_1),$ $(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?Bài 3. Giả sử $a,b,c$ là các số dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$Bài 4. Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$Bài 5. Cho các dãy số {$x_n$} và {$y_n$} được xác định bới công thức $x_1=a>0,y_1=b>0$$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }y_n$Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:$P(x,y)=x^n+xy+y^n$không thể viết dưới dạng $P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$, trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng

Hệ phương trình

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Bất đẳng thức

Hình học phẳng

Đề thi đội tuyển Toán (THPT Chuyên khối 11-12)

Bài 1. Giải hệ phương trình:$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$Bài 2. Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón $(C)$. Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón $(C)$, tiếp xúc $(S_1),$ $(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?Bài 3. Giả sử $a,b,c$ là các số dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$Bài 4. Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$Bài 5. Cho các dãy số {$x_n$} và {$y_n$} được xác định bới công thức $x_1=a>0,y_1=b>0$$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }y_n$Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:$P(x,y)=x^n+xy+y^n$không thể viết dưới dạng $P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$, trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng

Hệ phương trình

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Bất đẳng thức

Hình học phẳng

Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

Bài 1. Giải hệ phương trình:$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$Bài 2. Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón $(C)$. Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón $(C)$, tiếp xúc $(S_1),$ $(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?Bài 3. Giả sử $a,b,c$ là các số dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$Bài 4. Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$Bài 5. Cho các dãy số {$x_n$} và {$y_n$} được xác định bới công thức $x_1=a>0,y_1=b>0$$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }y_n$Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:$P(x,y)=x^n+xy+y^n$không thể viết dưới dạng $P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$, trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng

Hệ phương trình

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Bất đẳng thức

Hình học phẳng

Câu 1.Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}4xy(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=3x-2y \\ [(x-y)(x+y)]^5+5=0 \end{cases}$ $(*)$Đặt $\begin{cases}a=x+y \\ b=x-y \end{cases}$ thì $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}ab(a^4-b^4)=a+5b \\ 5=-a^5b^5 (!)\end{cases}$$\Rightarrow ab(a^4-b^4)=a-a^5b^6$$\Leftrightarrow a[a^4b(1+b^5)-(1+b^5)]=0$$\Leftrightarrow a(1+b^5)(a^4b-1)=0\Leftrightarrow a=0\vee b=-1\vee a^4b=1$+ Với $a=0:$ vô nghiệm+ Với $b=-1\Rightarrow \begin{cases}x=\frac{\sqrt[5]{5}-1}{2} \\ y=\frac{\sqrt[5]{5}+1}{2} \end{cases}$+ Với $a^4b=1$ thì $(!)\Leftrightarrow a^{15}=-\frac{1}{5}\Rightarrow (x;y)=(\frac{\sqrt[3]{5}-1}{2\sqrt[15]{5}};\frac{\sqrt[3]{5}+1}{2\sqrt[15]{5}})$

Câu 1.Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}4xy(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=3x-2y \\ [(x-y)(x+y)]^5+5=0 \end{cases}$ $(*)$Đặt $\begin{cases}a=x+y \\ b=x-y \end{cases}$ thì $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}ab(a^4-b^4)=a+5b \\ 5=-a^5b^5 (!)\end{cases}$$\Rightarrow ab(a^4-b^4)=a-a^5b^6$$\Leftrightarrow a[a^4b(1+b^5)-(1+b^5)]=0$$\Leftrightarrow a(1+b^5)(a^4b-1)=0\Leftrightarrow a=0\vee b=-1\vee a^4b=1$+ Với $a^4b=1$ thì $(!)\Leftrightarrow a^{15}=-\frac{1}{5}\Rightarrow (x;y)=(\frac{\sqrt[3]{5}-1}{2\sqrt[15]{5}};\frac{\sqrt[3]{5}+1}{2\sqrt[15]{5}})$

Câu 5.Pt $(1)\Leftrightarrow (\frac{x}{\sqrt{x+1}})^3+\frac{x}{\sqrt{x+1}}=(\sqrt{y+1})^3+\sqrt{y+1}$$\Leftrightarrow f(\frac{x}{\sqrt{x+1}})=f(\sqrt{y+1})(*)$Xét hàm $f(t)=t^3+t$ thì $f'(t)$ tăng trên $R$. Từ đó $(*)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1},x\geq 0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+1})^2=0$$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\wedge y=0$

Câu 5.Pt $(1)\Leftrightarrow (\frac{x}{\sqrt{x+1}})^3+\frac{x}{\sqrt{x+1}}=(\sqrt{y+1})^3+\sqrt{y+1}$$\Leftrightarrow f(\frac{x}{\sqrt{x+1}})=f(\sqrt{y+1})(*)$Xét hàm $f(t)=t^3+t$ thì $f'(t)$ tăng trên $R$. Từ đó $(*)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1},x\geq 0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow 8x\sqrt{x+1}=4x^3-4x^2-7x-3$Với $x\geq 0$ thì phương trình trên vô nghiệm $\Leftrightarrow $ hệ vô nghiệm

Câu 5.Pt $(1)\Leftrightarrow (\frac{x}{\sqrt{x+1}})^3+\frac{x}{\sqrt{x+1}}=(\sqrt{y+1})^3+\sqrt{y+1}$$\Leftrightarrow f(\frac{x}{\sqrt{x+1}})=f(\sqrt{y+1})(*)$Xét hàm $f(t)=t^3+3t$ thì $f'(t)$ tăng trên $R$. Từ đó $(*)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1},x\geq 0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+1})^2=0$$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\wedge y=0$

Câu 5.Pt $(1)\Leftrightarrow (\frac{x}{\sqrt{x+1}})^3+\frac{x}{\sqrt{x+1}}=(\sqrt{y+1})^3+\sqrt{y+1}$$\Leftrightarrow f(\frac{x}{\sqrt{x+1}})=f(\sqrt{y+1})(*)$Xét hàm $f(t)=t^3+t$ thì $f'(t)$ tăng trên $R$. Từ đó $(*)\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1},x\geq 0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+1})^2=0$$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\wedge y=0$

Câu 4.Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2-\frac{2}{y^2}-(\sqrt{2}+1)x\sqrt{2}-\frac{2x}{2x^2+\frac{2}{y^2}}=-(1+\sqrt{2}) \\ \frac{4x}{y}-(\sqrt{2}+1)\frac{\sqrt{2}}{y}+\frac{\frac{2}{y}}{2x^2+\frac{2}{y^2}}=0 \end{cases}$ $(1)$Đặt $\begin{cases}a=x\sqrt{2} \\ b=\frac{\sqrt{2}}{y}\neq 0\end{cases}$ thì $(1)\Leftrightarrow \begin{cases}a^2-b^2-(\sqrt{2}+1)a-\frac{a\sqrt{2}}{a^2+b^2}=-(1+\sqrt{2}) (2)\\ 2ab-(\sqrt{2}+1)b+\frac{b\sqrt{2}}{a^2+b^2}=0 (3)\end{cases}$Lấy $(1)+i.(2)\Rightarrow (a^2-b^2+2ab)-(\sqrt{2}+1)(a+bi)-\frac{\sqrt{2}(a-bi)}{a^2+b^2}+\sqrt{2}+1=0(4)$Đặt $z=a+bi$ thì $(3)\Leftrightarrow z^2-(\sqrt{2}+1)z-\frac{\sqrt{2}(a-bi)}{a^2+b^2}+\sqrt{2}+1=0$$\Leftrightarrow (z-\sqrt{2})(z^2-z+1)=0$$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{4}\wedge y=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ hoặc $x=\frac{\sqrt{2}}{4}\wedge y=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Câu 4.Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2-\frac{2}{y^2}-(\sqrt{2}+1)x\sqrt{2}-\frac{2x}{2x^2+\frac{2}{y^2}}=-(1+\sqrt{2}) \\ \frac{4x}{y}-(\sqrt{2}+1)\frac{\sqrt{2}}{y}+\frac{\frac{2}{y}}{2x^2+\frac{2}{y^2}}=0 \end{cases}$ $(1)$Đặt $\begin{cases}a=x\sqrt{2} \\ b=\frac{\sqrt{2}}{y}\neq 0\end{cases}$ thì $(1)\Leftrightarrow \begin{cases}a^2-b^2-(\sqrt{2}+1)a-\frac{a\sqrt{2}}{a^2+b^2}=-(1+\sqrt{2}) (2)\\ 2ab-(\sqrt{2}+1)b+\frac{b\sqrt{2}}{a^2+b^2}=0 (3)\end{cases}$Lấy $(1)+i.(2)\Rightarrow (a^2-b^2+2ab)-(\sqrt{2}+1)(a+bi)-\frac{\sqrt{2}(a-bi)}{a^2+b^2}+\sqrt{2}+1=0(4)$Đặt $z=a+bi$ thì $(4)\Leftrightarrow z^2-(\sqrt{2}+1)z-\frac{\sqrt{2}(a-bi)}{a^2+b^2}+\sqrt{2}+1=0$$\Leftrightarrow (z-\sqrt{2})(z^2-z+1)=0$$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{4}\wedge y=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ hoặc $x=\frac{\sqrt{2}}{4}\wedge y=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$

GPT

$\frac{3(sin^{3}\frac{x}{2} - cos^{3}\frac{x}{2}}{2 + sinx} = cosx$

Các dạng phương trình...

GPT

$\frac{3(sin^{3}\frac{x}{2} - cos^{3}\frac{x}{2})}{2 + sinx} = cosx$

Các dạng phương trình...

giúp mình với

giải phương trình1) $\sqrt[3]{(x+1)^2}$ + $\sqrt[3]{(x-1)^2}$ = -2$\sqrt[6]{(x+1)^2}$2) $\sqrt{x+1}$ + $\sqrt{4-x}$ + $\sqrt{(x+1)(4-x)}$ =53) $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$ = 2

Phương trình mũ

giúp mình với

giải phương trình1) $\sqrt[3]{(x+1)^2}$ + $\sqrt[3]{(x-1)^2}$ = -2$\sqrt[6]{(x+1)^2}$2) $\sqrt{x+1}$ + $\sqrt{4-x}$ + $\sqrt{(x+1)(4-x)}$ =53) $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$ = 2

Phương trình vô tỉ

Câu 2.$\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=5$Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\geq 0\Rightarrow t^2=5+2\sqrt{(x+1)(4-x)}$.Khi đó Pt $\Leftrightarrow t+\frac{t^2-5}{2}=5$

Câu 2.$\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=5$Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}> 0$(Sử dụng BĐT BCS để tìm max t nhé)$\Rightarrow t^2=5+2\sqrt{(x+1)(4-x)}$.Khi đó Pt $\Leftrightarrow t+\frac{t^2-5}{2}=5$

Giúp mình với mai nộp rùi

Cho x,y,z là các số dương. Tìm gtln của biểu thức Q = xyz/(x+y)(y+z)(z+x)

Đại số

Giúp mình với mai nộp rùi

Cho x,y,z là các số dương. Tìm gtln của biểu thức $Q = xyz/(x+y)(y+z)(z+x)$

Đại số

Tìm m để phương trình có

Pt: x^ 4 - 2x^2 + m^2 - 3 . A, Pt có 4 nghiệm phân biệtB Pt có 3 nghiệm phân biệtC Pt có hai nghiệm pb

Phép tịnh tiến đồ thị

Tìm m để phương trình có

Pt: $x^ 4 - 2x^2 + m^2 - 3$ . A, Pt có 4 nghiệm phân biệtB Pt có 3 nghiệm phân biệtC Pt có hai nghiệm pb

Phép tịnh tiến đồ thị

giải và biện luận hệ phương trình

giải và biện luận hệ phương trình x+3ay=1 và ax-3ay=2a+1

Giải và biện luận phương...

giải và biện luận hệ phương trình

giải và biện luận hệ phương trình $\begin{cases}x+3ay=1 \\ ax-3ay=2a+1 \end{cases}$

Giải và biện luận phương...

Do $n\equiv3$(mod4)$\equiv9$(mod17)$\equiv13$(mod19)Nên ta đặt: $n= 4a+3 = 17b+9= 19c+13$ $n+25 =4a+28= 17b+34 =19c+38$ Nhận thấy $(n+25)$ cũng chia hết cho $4,17,19$ $\Rightarrow (n+25)$ chia hết cho $4.17.19 =1292$ $A\equiv1267$(mod 1292)

Do $n\equiv3$(mod4)$\equiv9$(mod17)$\equiv13$(mod19)Nên ta đặt: $n= 4a+3 = 17b+9= 19c+13$ $n+25 =4a+28= 17b+34 =19c+38$ Nhận thấy $(n+25)$ cũng chia hết cho $4,17,19$ $\Rightarrow (n+25)$ chia hết cho $4.17.19 =1292$ $n\equiv1267$(mod 1292)

Lâu lâu mới đặt câu hỏi nên đặt 1 lần cho đáng

Giải phương trình mũ:$12^x+13^x+14^x=2^x+3^x+4^x+870^x-2400x^2+1560x$

Phương trình mũ

Lâu lâu mới đặt câu hỏi nên đặt 1 lần cho đáng

Giải phương trình mũ:$12^x+13^x+14^x=2^x+3^x+4^x+870x^3-2400x^2+1560x$

Phương trình mũ