tìm min max của biểu thức

Question

cho

$x,y>0$ và

$x^2+y^2=1$ . Tìm Max, Min của biểu thức:

$T=\frac{(1+x)(1+y)}{xy}$

score 1 · Answer 1

Ta có:

$(1+x)(1+y)\geq (1+\sqrt{xy})^2$ .
Từ đó suy ra

$T\geq \frac{(1+\sqrt{xy})^2}{xy}$ .
Đặt

$\sqrt{xy}=u$ thì

$0<u\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Xét hàm số

$f(u)=\frac{(1+u)^2}{u^2}=\frac{1}{u^2}+\frac{2}{u}+1$ nghịch biến với

$0<u<\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Do đó:

$f(u)\geq f\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3+2\sqrt{2}$ .
Vậy

$\min T=3+2\sqrt{2}$ , đạt được khi và chỉ khi

$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Cho

$x\to 0$ thì

$y\to 1$ . Khi đó

$T\to +\infty$ .
Vậy không tồn tại

$\max T$ .

1 Đáp án