Đối với hầu hết các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 2 biến bằng nhau hoắc ít nhất 1 biến bằng 0, tức là khi:$(a-b)(b-c)(c-a)=0$ hoặc $abc=0$.Nắm được điều này thì việc xác định dấu bằng trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Do các số a,b,c đôi một khác nhau nên ta chỉ có thể dự đoán 1 số=0 ta giả sử 1 số bất kì,giả sử $b=0$ từ đó tìm được điểm rơi là $a=-c$ và $GTNN=\frac{9}{2}$
Do đó ta quy bài toán về CM $P\geq \frac{9}{2}$.Để ý rằng $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$
Do đó ta cần chỉ ra $[(x^2+y^2+(x+y)^2][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{27}{2}$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a>b>c$ và ta đặt $x=a-b,y=b-c,x+y=-(c-a)$
Do dấu bằng xảy ra khi $a=-c$ nên BĐT trên sẽ xảy ra khi $x=y>0$ đến đây thì ta có thể sử dụng 1 cách tự nhiên các bất đẳng thức đã biết chỉ cần chú ý đến điểm rơi
Có $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2},x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\Rightarrow x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{3}{2}(x+y)^2$
Kết hợp với $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{(x+y)^2}\Rightarrow đpcm.$