Bài toán: Cho a,b,c≥0 thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:
√a2b+b2c+√b2c+c2a+√c2a+a2b≤3√2
(Vũ Đình Quý)
Lời giải
Áp dụng BĐT Caucy-Schwarz ta có điều sau:
LHS2≤2(ab+bc+ac)(a2+bca+c+b2+caa+b+c2+abc+b)
Sau khi đưa cả 2 vế về dạng đồng bậc thì ta sẽ chứng minh:
3(ab+bc+ac).(∑a2+bca+c)≤(a+b+c)3
BĐT này tương đương với:
3∑a2+bca+c−3(a+b+c)≤(a+b+c)3ab+bc+ac−3(a+b+c)
⇔3(a3b+b3c+c3a)−3abc(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)≤(a+b+c)3ab+bc+ac−3(a+b+c)
Áp dụng BĐT VasC ta có:3(a3b+b3c+c3a)≤(a2+b2+c2)2
Chuẩn hóa a+b+c=1 và đặt ab+bc+ac=q,r=abc.Ta sẽ chứng minh BĐT sau đúng:
r(1−6q)+q2(4q−1)≤0
Với 1<6q≤32 thì có r≥0 và khi đó BĐT hiển nhiên đúng.
Với 32≤6q≤2 thì áp dụng BĐT Schur bậc 4 thì có:
f(r)≤f((1−q)(4q−1)6)=16(1−4q)2(3q−1)≤0
Với 1>6q>0 thì ta có: r≤q23 và f(q23)=23q2(3q−1)≤0