$VT=(1-\frac{a}{a+1})+(1-\frac{b}{b+1})+(1-\frac{c}{c+1})+(1-\frac{d}{d+1}) \ge 3$$\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1} \le 1$
Ta chứng minh $f(x)=\frac{x}{x+1} \ge\frac{9x+1}{16} \hspace{1mm} \forall x>0(*)$
Thật vậy $(*) \Leftrightarrow 16x \ge (9x+1)(x+1)\Leftrightarrow (3x-1)^2 \ge 0$ (luôn đúng)
Ta lại có $1 \ge f(a)+f(b)+f(c)+f(d) \ge \frac{9a+1+9b+1+9c+1+9d+1}{16}$
$\Leftrightarrow16 \ge 9(a+b+c+d)+4$
$\Leftrightarrow a+b+c+d \le \frac{4}{3}$
Mà theo côsi thì ta có $a+b+c+d \ge 4\sqrt[4]{abcd}$
$\Rightarrow4\sqrt[4]{abcd} \le \frac{4}{3}\Rightarrow abcd \le \frac1{81}$