$P=\frac{x^{2}+x+y^{2}+y}{xy+x+y+1} =\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy+2} =\frac{(x+y)^{2}-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$Ta có $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} =\frac{1}{2}$ nên $xy \leq \frac{1}{4}$
Đặt $xy=t$ thì $0\leq t\leq \frac{1}{4} , P=\frac{2-2t}{2+t} =-2+ \frac{6}{t+2}$
$+ P$ Nhỏ nhất$ \Leftrightarrow \frac{6}{t+2} $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t $ lớn nhất $ \Leftrightarrow t= \frac{1}{4} \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ . Khi đó $ \min P=\frac{2}{3}$
$+ P$ lớn nhất$ \Leftrightarrow \frac{6}{t+2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow t$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0, y=1\\ x=1,y=0 \end{array} \right.$
Khi đó $\max P=1$