đừng dùng cauchy-schwarz. dùng cô-si cho mình xem thử

Question

$a,b,c>0$ và $abc=1$ tìm GTNN

$P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 2/28/2016 11:31:08 PM

Cách này của mình dùng Bunhiacopxki được không????

Ta có $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}=\frac{b^2c^2}{a^2bc(b+c)} = \frac{b^2c^2}{a(b+c)} (vì abc=1)$

$Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$ ta có $VT\geq \frac{(bc+ca+ab)^2}{2(ab+ac+bc)}\geq \frac{ab+ac+bc}{2}\geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{2}$

Vậy min VT=3/2 khi a=b=c=1

Trả lời 28-02-16 11:31 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
44 4

698K 307K

1

cauchuy schwarz là hệ quả của bunhiaxapxki rồi bạn – nguyenquangtruonghktcute 29-02-16 08:14 PM

Wade · Answer 2 · 2/28/2016 11:02:29 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

$\frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{b+c}{4bc}\geq \frac{1}{a}$

Tương tư => $P\geq\Sigma \frac{1}{2a}$

cosi nưa là đk

Trả lời 28-02-16 11:02 PM

Wade
6 2

62K 146K

☼SunShine❤️ · Answer 3 · 2/28/2016 3:23:22 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

=> P = $ \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ + $ \frac{\frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c} }$ + $ \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
Đặt :
\begin{cases}x= \frac{1}{a} \\ y=\frac{1}{b} => xyz=1 => P = \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}\\z= \frac{1}{c} \end{cases}
Áp dụng BĐT Cô-si :
$\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y+z}{4}$ $\geq$ x
=> Tương tự : $\frac{y^{2}}{z+x}$ + $ \frac{z+x}{4}$ $\geq $ y ; $ \frac{z^{2}}{x+y}$ + $ \frac{x+y}{4}$ $\geq $ z
Từ đó => P = $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y^{2}}{z+x}$ +$\frac{z^{2}}{x+y}$ $\geq $ $\frac{x+y+z}{2}$ $\geq $ $\frac{3\sqrt[3]{xyz} }{2}$ = $\frac{3}{2}$
Dâu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c=1
Vậy Min P = $\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1

lịch sử

Sửa 28-02-16 03:23 PM

☼SunShine❤️
850 1 7

1M 788K

Trả lời 28-02-16 03:22 PM

☼SunShine❤️
850 1 7

1M 788K

mk mới tham gia HTN hoy b :3 Mơn vì bạn đã góp ý =)) – ☼SunShine❤️ 01-03-16 01:41 PM

ui. Nam xem cả cách gõ lun – nguyenquangtruonghktcute 28-02-16 08:13 PM

gõ mệt mà lại ko đẹp nữa – tran85295 28-02-16 07:55 PM

bạn ơi lần sau gõ 2 dấu này $ ở đầu với cuối là đc rồi ko cần nhiều thế đâu – tran85295 28-02-16 07:54 PM

k hay bằng nhưng có ý tưởng là đủ rồi :v – nguyenquangtruonghktcute 28-02-16 07:48 PM

vãi.................. – thánh FA 28-02-16 03:31 PM

Không được hay như của bạn kia nhưng tại mới đánh nên nó ngốn gần 1h của mk đấy ạ =)) – ☼SunShine❤️ 28-02-16 03:24 PM

tran85295 · Answer 4 · 2/28/2016 2:55:06 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

$a^2b+a^2c=\frac{a^2b+a^2c}{abc}=\frac{ab+ac}{bc}$

$\Rightarrow \frac{bc}{a^2b+a^2c}=\frac{b^2c^2}{ab+ac}$

$\Rightarrow P = \sum\frac{b^2c^2}{ab+ac}$

$\Leftrightarrow P+\frac{ab+bc+ca}2=(\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{ab+ac}{4})+(\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{bc+ba}{4})+(\frac{a^2b^2}{ca+cb}+\frac{ca+cb}{4}) \overset{cosi}{\ge} bc+ca+ab$

$\Leftrightarrow P \ge \frac{ab+bc+ca}{2} \ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac 32$

lịch sử

Sửa 28-02-16 02:55 PM

tran85295
141 5

10M 559K

Trả lời 28-02-16 02:50 PM

tran85295
141 5

10M 559K