gt $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}- \frac{1}{xy}$(1) (chia 2 vế cho $x^{2}y^{2}$) đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b $ ( $a+b$ >0) khi đó (1) TT
$a+b=a^{2} +b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab \geq (a+b)^{2}-\frac{3}{4}(a+b)^{2}=\frac{(a+b)^{2}}{4}$
$\Rightarrow (a+b)^{2}-4(a+b) \leq0 \Leftrightarrow a+b \leq4$(do $a+b$>0)
A=$a^{3} +b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+ b^{2})=(a+b)^{2}\leq 16$
dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$