tìm min: $F=xy+2yz+zx$

Question

bđt khó nek mn!!!!!!

cho $x,y,z$ t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. tìm min: $F=xy+2yz+zx$

Confusion · Answer 1 · 4/4/2016 2:12:32 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Ta có: $0\leq (a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq -\frac{1}{2}$

Đẳng thức khi $\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ a^2+b^2+c^2=1 \end{array} \right.$

Mặt khác : $\frac{a^2+b^2}{2}$$\geq$ $-ab\Rightarrow$ $ab\geq$ -$\frac{a^2+b^2}{2}$

$\Rightarrow F=ab+bc+ca+bc\geq -4-\frac{a^2+c^2}{2}$

Ta có : $a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2=1$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(a^2+c^2)\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow F\geq -1$

Vậy min $F=-1$ khi $\left\{ \begin{array}{l} c=0\\ a+b=0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow ...$

lịch sử

Sửa 04-04-16 02:12 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Trả lời 04-04-16 12:48 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

score 9 · Answer 2

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

Ngày trước mh có gặp 1 bài tương tự nhưng là tìm GTLN:
$(3+2\sqrt{2})x^2+y^2\geq 2(1+\sqrt{2})xy$
$(3+2\sqrt{2})x^2+z^2\geq 2(1+\sqrt{2})xz$
$2(1+\sqrt{2})(y^2+z^2)\geq 4(1+\sqrt{2})yz$
$\Rightarrow (3+2\sqrt{2})(x^2+y^2+z^2) \geq 2(1+\sqrt{2})(xy+2yz+zx)$
$\Leftrightarrow 3+2\sqrt{2}\geq 2(1+\sqrt{2})F\Rightarrow F\leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$