(Bài Toán Thách Thức )CM bđt : $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

Question

(Bài Toán Thách Thức )
Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện : $abcd=1$ . CM bđt :
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

[_đéo_có_tên_] · Answer 1 · 4/5/2016 5:00:16 PM

Bình chọn tăng 15 Bình chọn giảm

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 05-04-16 05:00 PM

[_đéo_có_tên_]
1

87K 273K

-_- tối nay lại nhịn sò r – ☼SunShine❤️ 05-04-16 05:00 PM

Confusion · Answer 2 · 4/6/2016 5:05:02 PM

Bình chọn tăng 12 Bình chọn giảm

Cách 1: Đặt $a=\frac{yz}{x^2};b=....;c=...;d=....$

BĐT cần c/m trở thành:

$\Sigma \frac{x^4}{(x^2+yz)^2}\geq 1$

Sd Cauchy-Schwarz:

$\frac{x^4}{(x^2+yz)^2}+\frac{z^4}{(z^2+tx)^2}\geq \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+\frac{z^4}{(z^2+d^2)(z^4+a^4)}\geq \frac{(x^2+z^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2+z^2)+(z^2+t^2)(z^2+x^2)}=\frac{x^2+z^2}{x^2+y^2+z^2+t^2}$

tg tự vs 2 biến còn lại được đpcm!

lịch sử

Sửa 06-04-16 05:05 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Trả lời 06-04-16 03:10 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

lát nữa lm típ!~~ – Confusion 06-04-16 03:10 PM

Confusion · Answer 3 · 4/6/2016 5:37:48 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

Cách 2:

Đặt $a=\frac{y}{x};y=..;z=...;t=...$

BĐT đã cho tg đg:

$\Sigma \frac{x^2}{(x+y)^2}\geq 1$

Sd Cauchy-Schwarz kết hợp vs AM-GM được:

$VT\geq \frac{\left[ {} \right.x(x+t)^2+...\left[ {} \right.^2}{\Sigma (x+y)^2(x+t)^2}$

$=\frac{\Sigma ((x+y)^2)^2}{((x+y)^2+(y+z)^2).((x+t)^2+(y+z)^2)}$

$=\frac{T}{4((x+y)^2+(z+t)^2).((x+t)^2+(y+z)^2)}\geq 1$

Trả lời 06-04-16 05:37 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Vs: x;y;z;t>=0 – Confusion 06-04-16 05:39 PM

Confusion · Answer 4 · 4/6/2016 5:50:05 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Cách 4:

Cách dễ nhất nek:

Ta có BĐT quen thuộc:

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}$

A/d dược:

$VT\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=\frac{2+ab+cd}{abcd+ab+cd+1}=1$

Trả lời 06-04-16 05:50 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

hay và pro quá – khanhsd0901 01-01-17 04:20 PM

lần nào nữa nhỉ!~~?/ – Confusion 06-04-16 08:07 PM

ơ k,ý e là c nghĩ ra đc cả 4 cách pro ý mà -___-'' toàn hiểu nhầm nghĩa của e thế @@ – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 06-04-16 07:41 PM

ghê cái gì!? chị ghê á? nghĩa là đanh đá á? -_- – Confusion 06-04-16 07:40 PM

ghê thiệt... – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 06-04-16 07:10 PM

Confusion · Answer 5 · 4/6/2016 5:46:29 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Cách 3:

Đặt $a=\frac{yzt}{x^3};y=...;z=...;t=...$

BĐT cần c/m trở thành:

$\Sigma \frac{x^6}{(x^3+yzt)^2}\geq 1$

A/d Cauchy-Schwarz:

$\frac{x^6}{(x^3+yzt)^2}\geq \frac{(x^3+y^3+..)}{\Sigma (x^3+yzt)^3}$

Ta cần c/m:

$(x^3+y^3+z^3+t^3)^2\geq \Sigma (x^3+yzt)^2$

hay $2\Sigma x^3y^3\geq 2\Sigma x^3yzt+\Sigma y^2z^2t^2$

mà theo AM-GM:

$2\Sigma x^3yzt\leq 2/3.\Sigma x^3(y^3+z^3+t^3)=4/3.\Sigma x^3+y^3$

=>.....

Trả lời 06-04-16 05:46 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Hỏi	04-04-16 12:52 PM
Lượt xem	3965
Hoạt động	25-05-16 11:02 PM

(Bài Toán Thách Thức )CM bđt : $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

(Bài Toán Thách Thức )
Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện : $abcd=1$ . CM bđt :
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

5 Đáp án

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

(Bài Toán Thách Thức )CM bđt : $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

(Bài Toán Thách Thức )Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện : $abcd=1$ . CM bđt : $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$

5 Đáp án

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

(Bài Toán Thách Thức )
Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện : $abcd=1$ . CM bđt :
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}} \geq 1$