cho tớ xin cái BĐT cô si biến dạng để lm câu này =)))

Question

cho các số dương x,y,z thỏa

$xyz=4$ . tìm GTNN của biểu thức

P=

$\frac{x^{3}}{\sqrt{(1+x^{4}\sqrt{x})(1+y^{4}\sqrt{y})}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{(1+y^{4}\sqrt{y})(1+z^{4}\sqrt{z})}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{(1+z^{4}\sqrt{z})(1+x^{4}\sqrt{x}})}$

tran85295 · Answer 1 · 4/24/2016 9:00:58 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Đặt

$x\sqrt x=a; y\sqrt y=b;z\sqrt z=c(abc=8)$

Khi đó

$VT=\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}$

Ta có

$\sqrt{a^3+1} =\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac{a^2+2}{2}$

Tương tự

$\sqrt{b^3+1} \le \frac{b^2+2}{2}$

Nên

$\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \ge \sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$

Ta sẽ cm

$\sum\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \ge \frac 13$ (*)
Thật vậy (*)

$\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} \ge \frac 13$

$\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2+6\sum a^2 \ge a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2 +4\sum a^2+8$

$\Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2 \ge72$

Dễ dàng thấy bđt cuối đúng

Vậy GTNN của

$P$ là

$\frac 43$ đạt đc tại

$x=y=z=\sqrt[3]{4}$

lịch sử

Sửa 24-04-16 09:00 PM

tran85295
141 5

10M 559K

Trả lời 24-04-16 05:17 PM

tran85295
141 5

10M 559K

sửa lâu r :)) – tran85295 24-04-16 09:07 PM

dấu bđt bị nhầm kìa – gunny3181998 24-04-16 09:04 PM

á =))))). ghê nhẩy =)) – Bùi Cao Thắng 24-04-16 08:57 PM

Hỏi	24-04-16 11:40 AM
Lượt xem	1192
Hoạt động	24-04-16 05:17 PM

cho tớ xin cái BĐT cô si biến dạng để lm câu này =)))

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

cho tớ xin cái BĐT cô si biến dạng để lm câu này =)))

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan