Do vai trò của a,b,c là như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c\geqslant 1$Từ đk của giả thiết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1 $ phải có $a\geq b\geq c\geq 2$.Từ đó $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}<1 $ nên$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{1}{2}$
Suy ra $a\geq b\geq 3$. Do đó $S\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}<1$ nên $\frac{1}{a}<\frac{1}{6}\Rightarrow a\geq 7\Rightarrow S\leq \frac{1}{7}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{41}{42}$