Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Question

Cho

$\left\{ \begin{array}{l} 0<a\leq b\\ x,y,z \in [a;b] \end{array} \right..$ Tìm max:

$A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

score 4 · Answer 1

$A=3+\frac xy+ \frac yx+\frac yz+\frac zy+\frac xz+\frac zx$

Giả sử

$0<a\le x\le y\le z\le b$

$\Rightarrow \frac ab\le\frac xz<\frac ba\Rightarrow (\frac xz-\frac ab)(\frac xz -\frac ba)\le0\Leftrightarrow \frac {x^2}{z^2}+1\le\frac xz.(\frac ab+\frac ba)\Leftrightarrow \frac xz+\frac zx\le \frac ab+\frac ba$

Có

$(1-\frac xy)(1-\frac yz)\ge0;(1-\frac yx)(1-\frac zy)\ge0\ge0$ Cộng lại

$\Rightarrow \frac xy+\frac yx+\frac yz+\frac zy\le2+\frac xz +\frac zx=2+\frac ab+\frac ba$

Cộng tất cả lại

$\Rightarrow A\le5+2(\frac ab+\frac ba)$

Dấu bằng xảy ra tại

$(x;y;z)=(a;a;b)\text{ hoặc } (a;b;b)$ và các hoán vị

Hỏi	04-07-16 09:13 PM
Lượt xem	1094
Hoạt động	13-08-16 11:25 AM

Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm max: A=(x+y+z)(1x+1y+1z)A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$