$A=3+\frac xy+ \frac yx+\frac yz+\frac zy+\frac xz+\frac zx$Giả sử $0<a\le x\le y\le z\le b$
$\Rightarrow \frac ab\le\frac xz<\frac ba\Rightarrow (\frac xz-\frac ab)(\frac xz -\frac ba)\le0\Leftrightarrow \frac {x^2}{z^2}+1\le\frac xz.(\frac ab+\frac ba)\Leftrightarrow \frac xz+\frac zx\le \frac ab+\frac ba$
Có $(1-\frac xy)(1-\frac yz)\ge0;(1-\frac yx)(1-\frac zy)\ge0\ge0$ Cộng lại
$\Rightarrow \frac xy+\frac yx+\frac yz+\frac zy\le2+\frac xz +\frac zx=2+\frac ab+\frac ba$
Cộng tất cả lại
$\Rightarrow A\le5+2(\frac ab+\frac ba)$
Dấu bằng xảy ra tại $(x;y;z)=(a;a;b)\text{ hoặc } (a;b;b)$ và các hoán vị