GIAỈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Question

$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=1\\ a^{4}+b^{4}+c^{4}=abc \end{array} \right.$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 8/2/2016 7:43:33 PM

Bất đẳng thức

$AM-GM$ :

$3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ và

$a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$

Áp dụng bất đẳng thức

$AM-GM$ ta có:

$3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

Lại áp dụng

$AM-GM$ ta có:

$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=3((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)$

Lại áp dụng

$AM-GM$ lần nữa ta có:

$3((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2) \geq 3(ab^2c+abc^2+a^2bc)=3abc(a+b+c)=3abc$ (

$a+b+c=1$ )

Vậy ta có:

$3(a^4+b^4+c^4)\geq 3abc\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc$

Mà theo pt (2) thì dấu bằng xảy ra nên

$a=b=c$

Kết hợp

$a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Lionel Messi · Answer 2 · 8/2/2016 4:33:36 PM

$a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2$

$b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2$

$a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2$

Cộng vế theo vế ta có:

$=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 \geq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)$

$<=> a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)$
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:

$a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) \geq b^2.(2ac)$

$b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) \geq c^2.(2ba)$

$a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) \geq a^2.(2bc)$

Cộng vế theo vế ta có

$=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) \geq 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]$

$<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)$

$<=> ............... \geq abc ( b + c + a) (2)$
từ (1) và (2) ta có

$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)=abc$ .

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

2 Đáp án