Do a,b,c,d>0 và a2+b2+c2+d2=1 nên ⇒(a,b,c,d)ϵ[0;1]Ta có: (1−a)2≥0⇒a2+1≥2a⇒1−a≥a−a2
⇒1−a≥a.(1−a)
Tương tự ta có: 1−b≥b(1−b)
..................
Nhân lại theo vế ta có :
(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)≥abcd.(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)
Ta cần chứng minh (1−a)(1−b)(1−c)(1−d)≥(1−a)2(1−b)2(1−c)2(1−d)2
Do aϵ[0;1] nên (1−a)ϵ[0;1] Do đó (1−a)≥(1−a)2
Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=12