Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho

$a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn

$a+b+c=1$ . Tìm Min:

$A=2018.(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}$

score 0 · Answer 1

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ:

$9.(a^2.b+b^2.c+c^2.a)\leq(a+b+c)^3$

Từ đó,

$9.(a^2.b+b^2.c+c^2.a)\leq1$ (*)

$A=2018.(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a})+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}$

$A=2018.(\frac{a^2}{b}+9.a^2.b +\frac{b^2}{c} + 9.b^2.c +\frac{c^2}{a} + 9.c^2.a)-2018.9.(a^2.b+b^2.c+c^2.a)+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}$

Theo bất đẳng thức Cô-si thì:

$a^2+b^2\geq2ab$

Ta có:

$A\geq2018.6.(a^2+b^2+c^2)-2018.9.(a^2.b+b^2.c+c^2.a)+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}$

Từ (*),ta lại suy ra tiếp:

$A\geq2018.6.(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}-2018$

$A\geq12105(a^2+b^2+c^2)+3.(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}-2018$

Lại theo bất đẳng thức Cô-si với 2 số

$3.(a^2+b^2+c^2)$ và

$\frac{1}{3.(a^2+b^2+c^2)}$

$A\geq12105.(a^2+b^2+c^2)+2-2018$

Mà,

$3.(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2=1$

Nên,

$A\geq4035+2-2018=2019$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$a=b=c=\frac{1}{3}$

1 Đáp án