|
|
Đường tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính R=1.
Ta có ba cách giải sau:
Cách 1: Tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ) có phương trình:
(d):4x+3y+c=0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)⇔d(I;(d))=R⇔|4.1+3.3+c|√16+9=1⇔[c1=−18c2=−8
Với c1=−18, ta được tiếp tuyến (d1):4x+3y−18=0.
Với c2=−8, ta được tiếp tuyến (d2):4x+3y−8=0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1),(d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài .
Cách 2:Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d):x.x0+y.y0−(x+x0)−3(y+y0)+9=0
⇔(d):(x0−1)x+(y0−3)y−x0−3y0+9=0(1)
Vì M(x0;y0)∈(C)
⇔x20+y20−2x0−6y0+9=0(2)
Đường thẳng (d) vuông góc với (Δ):
⇔3.(x0−1)−4(y0−3)=0⇔3x0−4y0+9=0(3)
Giải hệ phương trình được tạo bởi (2),(3) ta được:
[x0=95,y0=185x0=15,y0=125
* Với M1(95,185), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d1):4x+3y−18=0
* Với M2(15;125), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d2):4x+3y−8=0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1),(d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Cách 3: Họ tiếp tuyến (d1) của (C) có dạng:
(d1):(x−1)sint+(y−3)cost=1.
Đường thẳng (d1) vuông góc với (Δ) :
⇔3sint−4cost=0⇔sint=4cost3sin2t+cos2t=1→{sint=4cost316cos2t9+cos2t=1
⇔{sint=4cost3cost=±35⇔[cost=35,sint=45cost=−35,sint=−45
* Với cost=35,sint=45 , thay vào (1) ta được:
(d1):4x+3y−18=0 và tọa độ tiếp điểm là M1(95;185)
* Với cos=−35,sint=−45, thay vào (1) ta được:
(d2):4x+3y−8=0 và tọa độ tiếp điểm là M2(15;125).
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1),(d2) tới đường tròn (C) thỏa mãn đề bài.
|