Bài 103237

Giả sử $A(k)=4.3^{2k+2}+32k-36$ chia hết cho $64$.

Khi đó $A(k+1)=4.3^{2k+4}+32(k+1)-36=4.3^{2}(3^{2k+2})+32k+32-36$

$=(4.3^{2k+2}+32k-36)+4.8.3^{2k+2}+32$

$=A(k)+32(3^{2k+2}+1)$

Trong đó $A(k)\vdots 64; 32(3^{2k+2}+1)  \vdots  64$ ($\vdots$ là kí hiệu chia hết, $3^{2k+2}$ là số lẻ, $3^{2k+2}+1$ là số chẵn, chia hết cho $2$).

Vậy $A(k+1)  \vdots  64$.

b)    Với $n=1, B(1)=16-15-1=0  \vdots  225$.

Giả sử $B(k)=16^{k}-15k=1$ chia hết cho $225$.

$B(k+1)=16^{k+1}-15(k+1)-1=16.16^{k}-15k-16$

$=B(k)+15.16^{k}-15=B(k)+15(16^{k}-1)$.

Với $k>1. 16^{k}-1=(16-1)(16{k-1}+16^{k-2}+…+1)  \vdots  15$

Do đó $15(16^{k}-1)  \vdots  225; B(k)  \vdots  225$, nên $B(k+1)  \vdots  225$.

Mệnh đề đúng với mọi $n\in N$*