Bài 104281

Question

Cho hàm số :

$y = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}}$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với

$m = 1.$

$2.$ Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng với mọi giá trị

$m \ne 0$ , tiệm cận xiên của
đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một Parabol cố định. Hãy chỉ rõ phương trình của Paralbol ấy.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/15/2012 2:05:59 PM

$1$ . Dành cho bạn đọc tự giải.

$2$ .

$y = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}} = (m + 1)x + m(m + 1) + \frac{{{m^3}}}{{x - m}}$

$\Rightarrow y = (m + 1)x + m(m + 1)$ là tiệm cận xiên với mọi

$m \ne 0$
Xét parabol (P):

$y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)$
Tiệm cận xiên tiếp xúc với (

$P$ ) khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx + c = (m + 1)x + m(m + 1)}}\,\,\,\,\,{\rm{(1)}}\\ {\rm{2ax + b = m + 1}}\,\,\,{\rm{(2)}} \end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow a{x^{2 - }}(m + 1 - b)x + c - {m^2} - m = 0$
(

$2$ ) có nghiệm duy nhất

$x = \frac{{m + 1 - b}}{{2a}}$ do đó hệ pt trên có nghiệm khi và chỉ khi:

$x = \frac{{m + 1 - b}}{{2a}}$ thỏa mãn (

$1$ ) tức là:

$a{\left( {\frac{{m + 1 - b}}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{{\left( {m + 1 - b} \right)}^2}}}{{2a}} + c - {m^2} = 0$

$\Leftrightarrow (4a + 1){m^2} + {\rm{[}} - 2(b - 1) + 4a]m + {(b - 1)^2} - 4ac = 0\,(3)$
Tiệm cận xiên sẽ luôn tiếp xúc với Parabol

${\rm{y = a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c$

$\Leftrightarrow (3)$ đúng

$\forall m \ne 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 1 = 0\\ - 2(b - 1) + 4a = 0\\ {(b - 1)^2} - 4ac = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{1}{4}\\ b = \frac{1}{2}\\ c = - \frac{1}{4} \end{array} \right.$
Vậy

$\forall m \ne 0$ , tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với Parabol: