Bài 106900

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + 2mx + m}}{x - m}\,\,\,(1)$
$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ($1$) khi $m = 1.$
$2.$ Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đồ thị mà $2$ tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) có cực đại, cực tiểu. Viết pương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/5/2012 2:07:39 PM

$1.$ $y=x+3m+\frac{3m^2+m}{x-m}$
Với $m=1$, hàm số trở thành:
$y=x+3+\frac4{x-1}$
*Tập xác định: $D=(-\infty;1)\cup (1;+\infty) $
*Sự biến thiên
$a)$Đạo hàm: $y'=1-\frac 4 {(x-1)^2} \\y'=0\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow x=3 \vee x=-1$
hàm số đạt 2 cực trị tại: $A ( -1 ; 0 ), B ( 3 ; 8 )$
$b)$ Giới hạn và các đường tiệm cận
        + Ta có:
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to 1^-}=-\infty ; \mathop {\lim y}\limits_{x \to 1^+}=+\infty $
                    → đường thẳng $x = 1 $là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
        + Giới hạn tại vô cực:
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to +\infty }=+\infty ; \mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty}=-\infty $
        + Ta có:
$\mathop {\lim [y-(x+3)]}\limits_{x \to +\infty }=0 ; \mathop {\lim [y-(x+3)]}\limits_{x \to -\infty}=0 $
                   → đường thẳng $y = x+3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho
$c)$ Bảng biến thiên

$d)$Chiều biến thiên và các cực trị
        + Hàm số đồng biến trên $( -\infty ; -1 )$
        + Hàm số nghịch biến trên $( -1 ; 1 )$
        + Hàm số nghịch biến trên$ ( 1 ; 3 )$
        + Hàm số đồng biến trên $( 3 ; +\infty )$
        + Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$; giá trị cực đại của hàm số là$ y = 0$
        + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 3$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 8$
*Đồ thị
    $a)$ Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
        + Giao điểm của hàm số với trục Ox:            $y = 0 \Leftrightarrow x = -1 $
        + Giao điểm của hàm số với trục Oy:            $x = 0 \Leftrightarrow y = -1$
    $b)$ Nhận xét
        + Đồ thị hàm số nhận giao điểm $D (1;4)$ của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
    $c)$ Vẽ đồ thị hàm số

$2.$ Xét $M(0;m)$ thuộc $Oy$. Đường thẳng qua $M$ có dạng:
$y = kx + m$. Tiếp tuyến với đồ thị tại $\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}}
\right)$ có phương trình:
$y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) +
\frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}$
Đường thẳng $y = kx + m$ sẽ là một tiếp tuyến qua $M(0;m)$ khi và chỉ khi:
$\exists {x_0}:\left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\
m = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( { - {x_0}} \right) +
\frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}
\end{array} \right.$
Do đó qua $M$ sẽ kẻ được $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi:
$m = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\left( { - x} \right) + \frac{{{x^2} + 2x +
1}}{{x - 1}}$
hay $(m - 3){x^2} - (2m + 2)x + m + 1 = 0\,\,(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ sao cho:
$\frac{{x_1^2 - 2{x_1} - 3}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}.\frac{{x_2^2 - 2{x_2} -
3}}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = - 1\,\,(2)$
($1$) có hai nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 3\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 1\\
m \ne 3
\end{array} \right.\,\,\,\,(3)$
Điều kiện $(2) \left( {1 - \frac{4}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {1 -
\frac{4}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}} \right) = - 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right)^2} - 2\left( {{{\left(
{{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2} \right) + 8 = 0$
Theo định lý Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m + 1)}}{{m - 3}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 3}}
\end{array} \right.$
Nên $(2) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {15} $ (thỏa mãn $(3)$)
Vậy các điểm cần tìm trên $Oy$ là $M\left( {0;4 \pm \sqrt {15} } \right)$
$3.$ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi:
$y' = \frac{{(2x + 2m)(x - m) - \left( {{x^2} + 2mx + m} \right)}}{{{{(x - m)}^2}}}$ có $2$ nghiệm phân biệt:
$ \Leftrightarrow (2x + 2m)(x - m) = {x^2} + 2mx + m\,\,\,(1)$
có $2$ nghiệm phân biệt khác $m $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 3{m^2} + m > 0\\
- 3{m^2} - m \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - \frac{1}{3}\\
m > 0
\end{array} \right.
\end{array}$
Giả sử $A({x_1};{y_1})$ và $B(x_2;y_2)$ là các điểm cực đại, cực tiểu. Như vậy ${x_1}$, ${x_2}$ là hai
nghiệm của ($1$) và ${y_{1,2}} = \frac{{x_{1,2}^2 + 2m{x_{1,2}} + m}}{{{x_{1,2}} - m}}$
Vì ${x_1}$ là nghiệm của $(1) \Rightarrow \left( {2{x_1} + 2m} \right)\left( {{x_1} - m} \right) =
x_1^2 + 2m{x_1} + m$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{x_1^2 + 2m{x_1} + m}}{{{x_1} - m}} = 2{x_1} + 2m \Rightarrow {y_1} =
2{x_1} + 2m\\
\Rightarrow {A_1} \in y = 2x + 2m
\end{array}$
Tương tự ta chứng minh được ${A_2} \in y = 2x + 2m$
Vậy $y = 2x + 2m$ là đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Bài 106900

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106900

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan