Chứng minh: $\frac{ab+bc-ca}{a^2+b^2}+\frac{bc+ca-ab}{b^2+c^2}+\frac{ca+ab-bc}{c^2+a^2}\leq \frac{3}{2}$

Question

Cho

$a,b,c>0.$ Chứng minh:

$\frac{ab+bc-ca}{a^2+b^2}+\frac{bc+ca-ab}{b^2+c^2}+\frac{ca+ab-bc}{c^2+a^2}\leq \frac{3}{2}$

tran85295 · Answer 1 · 7/11/2016 1:55:02 AM

$bdt\Leftrightarrow \frac{c(b-a)}{a^2+b^2}+\frac{a(c-b)}{b^2+c^2}+\frac{b(a-c)}{c^2+a^2} \le \sum_{cyc}\left(\frac 12-\frac{ab}{a^2+b^2} \right)$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{c(b-a)}{a^2+b^2} \le \sum\frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}$

Khi đó

$VP \ge 0$

Ta chỉ cần cm

$VT \le 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b).c}{a^2+b^2}+\frac{(b-c).a}{b^2+c^2}-\frac{[(a-b)+(b-c)].b}{c^2+a^2} \ge0$

$\Leftrightarrow (a-b)\left(\frac{c}{a^2+b^2} -\frac{b}{a^2+c^2}\right)+(b-c)\left(\frac{a}{b^2+c^2}-\frac{b}{c^2+a^2} \right) \ge0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(c-b)(a^2+b^2+c^2+cb)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{(b-c)(a-b)(a^2+b^2+c^2+ab)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)} \ge0$

$\Leftrightarrow (a-b)(b-c) \left( \frac{a^2+b^2+c^2+ab}{b^2+c^2}-\frac{a^2+b^2+c^2+bc}{a^2+b^2}\right)=0$

Bằng việc giả sử

$a \ge b \ge c$ , dễ dàng cm bdt cuối đúng

$\Rightarrow$ dpcm

1 Đáp án