con lắc lò xo ?

Question

Con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng K, khối lượng của lò xo là M, vật nặng m, từ VTCB kéo m ra một đoạn nhỏ, tính chu kì dao động

Long Nd · Answer 1 · 11/7/2012 10:56:08 PM

Xét lò xo ở trạng thái: có chiều dài (tức thời) là L, vận tốc điểm đầu mút (gắn với vật) là $v$.
+ Mật độ khối lượng dài (khối lượng ứng với một đơn vị chiều dài) là: $\lambda=\frac{M}{L}$
+ Xét một đoạn nhỏ chiều dài $dx$, cách điểm treo một khoảng $x$:
Khối lượng của phần tử này là: $dm=\lambda\times dx=\frac{M}{L}dx$
Vận tốc của phần tử này sẽ là: $v_{1}=v(x)=\frac{x}{L}v$
Động năng của phần tử này sẽ là: $T(x)=\frac{1}{2}dmv_{1}^{2}=\frac{M}{2L}dx\times \frac{x^{2}}{L^{2}}v^{2}=\frac{Mv^{2}}{2L^{3}}x^{2}dx$
+Tổng động năng của lò xo là tổng động năng của các phần tử $dx$ dọc theo chiều dài:
$T=\int\limits_{0}^{L}T(x)=\int\limits_{0}^{L}\frac{Mv^{2}}{2L^{3}}x^{2}dx=\frac{1}{6}Mv^{2}$
Ban đầu hệ có cơ năng E (vận tốc đầu hoặc kéo lệch khỏi vị trí cân bằng). Bảo toàn cơ năng:
$\frac{1}{6}Mv^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}+Mg\frac{x}{2}+mgx=E$
(ở đây mình xét con lắc thẳng đứng nên có thêm trọng lực, nếu nằm nang thì bỏ 2 cái mg đi, ko khác nhau gì cả. Đọc đề ko kỹ nên làm hơi thừa :D)
(đầu mút lò xo bị kéo xuống $x$ thì trọng tâm bị kéo xuống $x/2$)
Đạo hàm biểu thức trên theo thời gian ta có:
$\frac{1}{3}Mva+mva+kxv+g\frac{M}{2}v+mgv=0$
$\frac{1}{3}Ma+ma+kx+g\frac{M}{2}+mg=0$
$(\frac{1}{3}M+m)x''+ g(\frac{M}{2}+m)=-kx$
Từ phương trình trên ta có hệ số góc của dao động điều hòa là:
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+M/3}}$
$T=\frac{2\pi}{\omega}$